Opgaver i Bestemmelse af Potensfunktioner ud fra To Punkter

Fag: Matematik C

Opgave 1: Brug af to-punktsformlen

Når vi kender to punkter $(x_1, y_1)$ og $(x_2, y_2)$ for en potensudvikling $f(x) = b \cdot x^a$, kan vi finde eksponenten $a$ og konstanten $b$ ved hjælp af formlerne: $$a = \frac{\log(y_2) – \log(y_1)}{\log(x_2) – \log(x_1)} \quad \text{og} \quad b = \frac{y_1}{x_1^a}$$

En potensfunktion går gennem punkterne $A(2, 4)$ og $B(4, 16)$.

  • Opgave a: Beregn eksponenten $a$ ved at indsætte punkternes koordinater i formlen.
  • Opgave b: Bestem værdien af konstanten $b$ ved at bruge din fundne $a$-værdi og koordinaterne fra punkt A.
  • Opgave c: Opstil den samlede forskrift for funktionen.

Opgave 2: Modellering af bremselængde

I trafikforskning ved man, at en bils bremselængde $y$ (målt i meter) som funktion af farten $x$ (målt i km/t) følger en potensudvikling. En test af en bil giver følgende data:

  • Ved en fart på $30 \text{ km/t}$ er bremselængden $5,4 \text{ meter}$.

  • Ved en fart på $60 \text{ km/t}$ er bremselængden $21,6 \text{ meter}$.

  • Opgave a: Opstil de to målinger som punkter $(x, y)$ og benyt to-punktsformlerne til at bestemme forskriften $f(x) = b \cdot x^a$.

  • Opgave b: Hvad fortæller eksponenten $a$ os om sammenhængen? Hvis farten fordobles, hvad sker der så med bremselængden?

  • Opgave c: Benyt din model til at beregne bremselængden, hvis bilen kører $110 \text{ km/t}$.

Opgave 3: Luftmodstand

For et objekt i bevægelse afhænger luftmodstanden (kraften) af hastigheden. For en bestemt drone har man målt luftmodstanden $F$ (i Newton) ved to forskellige hastigheder $v$ (i m/s). Data viser, at punktet $(5; 1{,}25)$ og $(15; 11{,}25)$ ligger på grafen for potensudviklingen.

  • Opgave a: Bestem forskriften for luftmodstanden som funktion af hastigheden: $F(v) = b \cdot v^a$.
  • Opgave b: Inden for fysik siger man ofte, at luftmodstanden er proportional med kvadratet på hastigheden ($v^2$). Stemmer din beregnede model overens med denne fysiske teori? Begrund svaret.
  • Opgave c: Redegør for, hvad der ville ske med eksponenten $a$, hvis man i stedet for at bruge 10-talslogaritmen ($\log$) brugte den naturlige logaritme ($\ln$) i to-punktsformlen. Ville forskriften ændre sig?