Opgaver i Bestemmelse af Lineær Funktion ud fra to Punkter
Fag: Matematik C
Opgave 1: Brug af to-punktsformlen
Når vi kender to punkter $(x_1, y_1)$ og $(x_2, y_2)$ på en ret linje, kan vi finde hældningskoefficienten $a$ ved hjælp af formlen: $$a = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}$$
Vi betragter en ret linje, der går gennem punkterne $A(1, 5)$ og $B(3, 9)$.
- Opgave a: Identificer $x_1, y_1, x_2$ og $y_2$ ud fra de to punkter.
- Opgave b: Beregn hældningskoefficienten $a$ ved at indsætte tallene i formlen.
- Opgave c: Begyndelsesværdien $b$ kan findes ved at indsætte $a$ og et af punkterne i ligningen $b = y_1 – a \cdot x_1$. Beregn $b$ og opstil den samlede forskrift $f(x) = ax + b$.
Opgave 2: Beregning med negative tal
En ret linje går gennem punkterne $P(-2, 10)$ og $Q(4, -2)$.
- Opgave a: Beregn hældningskoefficienten $a$. Vær særligt opmærksom på fortegnene, når du trækker negative tal fra hinanden.
- Opgave b: Bestem værdien af begyndelsesværdien $b$ ved at bruge punktet $Q(4, -2)$.
- Opgave c: Kontrollér din fundne forskrift ved at indsætte $x$-værdien fra det andet punkt ($P$) i forskriften og se, om det giver den korrekte $y$-værdi.
Opgave 3: Lineær modellering
I et laboratorieforsøg undersøger en gymnasie-elev sammenhængen mellem temperaturen i en væske og den tid, der er gået. Eleven observerer, at temperaturen falder lineært. Efter 2 minutter er temperaturen $75^\circ\text{C}$, og efter 10 minutter er temperaturen faldet til $35^\circ\text{C}$.
- Opgave a: Opstil de to observationer som punkter med formen $(\text{tid}, \text{temperatur})$ og benyt disse til at bestemme en forskrift $f(x) = ax + b$ for temperaturen som funktion af tiden $x$.
- Opgave b: Hvad fortæller tallene $a$ og $b$ om væskens temperaturudvikling? (Inddrag enheder som $^\circ\text{C}$ og minutter i din forklaring).
- Opgave c: Benyt din model til at beregne, hvornår væsken når stuetemperatur på $20^\circ\text{C}$. Vurder derefter, om modellen vil være gyldig i al evighed (f.eks. efter 100 minutter). Hvilket begreb fra funktionslæren hænger denne overvejelse sammen med?