Kurveundersøgelse

Indledning

Ved at lave funktionsanalyse af koordinatfunktionerne for en vektorfunktion kan man opnå indsigt i banekurvens udseende. For eksempel vil nulpunkterne for de to koordinatfunktioner give informationer om banekurven skæring med x- og y-akserne. Overskrifterne for dette modul er:

Skæring med akserne
Lodrette og vandrette tangenter
Dobbeltpunkter

Skæring med akserne

En af de egenskaber af en vektorfunktion der ofte er interessant at kende er skæringen med akserne. Dette svarer kort sagt til nulpunkterne for de to koordinatfunktioner (værdien af x eller y når den anden variabel er 0). Proceduren for at bestemme skæringen med akserne er følgende:

Bestemmelse af nulpunkter

For en vektorfunktion r(t) med koordinatfunktionerne x(t) og y(t) bestemmes koordinatsættene for skæringspunkterne med akserne gennem følgende trin:

Bestem t-koordinaten for nulpunkterne for de to koordinatfunktioner. Det vil sige løs ligninger x(t) = 0 og y(t) = 0.

Anvend de fundne værdier af t til at bestemme x– og y-værdierne for nulpunkterne.

Som eksempel vil vi bestemme skæringspunkterne med x– og y-akserne for følgende vektorfunktion:

$$ \overrightarrow{r}(t) = \begin{pmatrix} 4t-t^3 \\ -t^2+1 \end{pmatrix} $$

Koordinatsættet for skæringspunkterne mellem banekurven og akserne bestemmes via de to trin.

Trin 1: Bestem t-koordinaterne for nulpunkterne

Løser ligningen y(t) = 0 for at finde t-værdier svarende til skæringen med x-aksen:

$$ -t^2+1=0 $$

Ved brug af formlen for løsningen af en andengradsligning kan løsningerne bestemmes (eller vha. af et CAS-værktøj). Man får at værdier af t svarende til skæringen med x-aksen er:

$$ t=-1 ∨ t=1 $$

Løser ligningen x(t) = 0 for at finde t-værdier svarende til skæringen med y-aksen:

$$ 4t-t^3=0 $$

$$ t \cdot (4-t^2)=0 $$

Ved brug af nulreglen og formlen for løsningen af en andengradsligning kan løsningerne bestemmes (eller vha. af et CAS-værktøj). Man får at værdier af t svarende til skæringen med y-aksen er:

$$ t=-2 ∨ t=0 ∨ t=2 $$

Trin 2: Bestem x– og y-koordinater

Ud fra de fundne nulpunkter for y(t) bestemmes x(t):

$$ x(-1)=4 \cdot (-1)-(-1)^3 = -3 $$

$$ x(1)=4 \cdot 1-1^3 = 3 $$

Det vil sige, at banekurven skærer x-aksen i (-3,0) og i (3,0).

Ud fra de fundne nulpunkter for x(t) bestemmes y(t):

$$ y(-2) = -(-2)^2+1 = -3 $$

$$ y(0) = -0^2+1 = 1 $$

$$ y(2) = -2^2+1 = -3 $$

Det bemærkes, at to af t-værdierne begge giver værdien –3 af y. Dette betyder, at banekurven skærer y-aksen to gange det samme sted. Man kan konkludere, at skæringspunkterne med y-aksen har koordinaterne (0,-3) og (0,1).

De fundne skæringspunkter ud fra proceduren ser ud til at stemme overens med grafen (se Figur 1).

Sløjfe — **Figur 1:** Banekurven for vektorfunktionen r der har koordinatfunktionerne x(t) = 4t –t³ og y(t) = –t² + 1.

ØVELSE: BESTEMMELSE AF SKÆRING MED AKSERNE

Lodrette og vandrette tangenter

En anden interessant egenskab ved funktioner er steder, hvor banekurven har lodrette eller vandrette tangenter. En lodret eller vandret tangen svarer til en værdi af parameteren, hvor differentialkvotient af én (og kun én) af koordinatfunktionerne er 0. Proceduren for at bestemme punkter på banekurven, hvor der er lodrette eller vandrette tangenter er følgende:

Bestemmelse af punkter med ingen vækst

For en vektorfunktion r(t) med koordinatfunktionerne x(t) og y(t) bestemmes og karakteriseres koordinatsættene for punkter med ingen vækst i koordinatfunktionerne gennem følgende trin:

Bestem t-koordinaten for nulpunkterne for de afledte af de to koordinatfunktioner. Det vil sige løs ligninger x’(t) = 0 og y’(t) = 0.

Anvend de fundne værdier af t til at bestemme x– og y-værdierne for nulpunkterne. Afgør om der er en lodret tangent, vandret tangent eller spids i punktet ud fra følgende sammenhæng mellem t-værdien for et punkt og de afledte af koordinatfunktionerne:

x’(t) = 0 og y’(t) ≠ 0: Der er en lodret tangent i punktet (x(t),y(t))

x’(t) ≠ 0 og y’(t) = 0: Der er en vandret tangent i punktet (x(t),y(t))

x’(t) = 0 og y’(t) = 0: Der er ingen tangent i punktet (x(t),y(t)) (punktet er en spids)

Igen ser vi på vektorfunktionen:

$$ \overrightarrow{r}(t) = \begin{pmatrix} 4t-t^3 \\ -t^2+1 \end{pmatrix} $$

For at finde punkter med lodrette og vandrette tangenter bestemmes de afledte funktioner til koordinatfunktionerne:

$$ \overrightarrow{r}'(t) = \begin{pmatrix} x'(t) \\ y'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-3t^2 \\ -2t \end{pmatrix} $$

Via de to trin bestemmes punkter med lodrette og vandrette tangenter og eventuelle spidser.

Trin 1: Bestem t-koordinaterne for nulpunkter for de afledte

Løser ligningen y’(t) = 0 for at finde t-værdier svarende til eventuel vandret tangent til banekurven:

$$ -2t = 0 $$

$$ t = 0$$

Løser ligningen x’(t) = 0 for at finde t-værdier svarende til eventuel lodret tangent til banekurven:

$$ 4-3t^2 = 0 $$

$$ 3t^2 = 4 $$

$$ t^2 = 4/3 $$

$$ t = \pm \sqrt{4/3} = \pm 1,1547 $$

Ingen af løsningerne for y’(t) = 0 er de samme som for x’(t) = 0. Dermed kan det udelukkes, at grafen har en spids (r’(t) er forskellig fra nulvektoren for alle t).

Trin 2: Bestem x– og y-koordinaterne

Først bestemmes koordinaterne for punktet på banekurven der har en vandret tangent. Dette er for t = 0 (jf. y’(0) = 0):

$$ \overrightarrow{r}(0) = \begin{pmatrix} 4\cdot 0-0^3 \\ -0^2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Det vil sige at banekurven har en vandret tangent i punktet (0,1).

Nu bestemmes koordinaterne for punkter på banekurven, der har en lodret tangent. Dette er for t = ±1,1547 (jf. x’(1,1547) = 0 og x’(-1,1547) = 0):

$$ \overrightarrow{r}(1,1547) = \begin{pmatrix} 4\cdot 1,1547-1,1547^3 \\ -1,1547^2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3,0792 \\ -0,3333 \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{r}(-1,1547) = \begin{pmatrix} 4\cdot (-1,1547)-(-1,1547)^3 \\ -(-1,1547)^2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3,0792 \\ -0,3333 \end{pmatrix} $$

Det vil sige, banekurven har en lodret tangent i punkterne (-3.0792,-0.3333) og (3.0792,-0.3333).

De fundne punkter ser ud til at stemme overens med punkter på grafen, hvor man ville forvente, der var en vandret eller lodret tangent (se Figur 2).

ØVELSE: LODRETTE OG VANDRETTE TANGENTER

Dobbeltpunkter

Hvis banekurven for en vektorfunktion skærer sig selv kaldes skæringspunktet for et dobbeltpunkt. Et dobbeltpunkt for en vektorfunktion er karakteriseret ved at have samme funktionsværdier af begge koordinatfunktioner for to forskellige værdier af parameteren (x(t₁) = x(t₂) og y(t₁) = y(t₂)). En standardprocedure for at bestemme koordinatsættet for et dobbeltpunkt for en vektorfunktioner er følgende:

Bestemmelse af dobbeltpunkt

For en vektorfunktion r(t) med koordinatfunktioner x(t) og y(t) bestemmes koordinatsættene for et dobbeltpunk gennem følgende trin:

Bestem to forskellige værdier af parameteren t der giver samme værdi af vektorfunktionen. Det vil sige løs ligninger x(t₁) = x(t₂) og y(t₁) = y(t₂) med t₁ og t₂ som de to ubekendte.

Anvend t₁ eller t₂ til at bestemme x– og y-værdierne for dobbeltpunktet.

Vi vil benytte proceduren til at bestemme et eventuelt dobbeltpunkt for vektorfunktionen:

$$ \overrightarrow{r}(t) = \begin{pmatrix} 4t-t^3 \\ -t^2+1 \end{pmatrix} $$

Trin 1: Bestem t-værdierne for dobbeltpunktet

Løser ligningerne x(t₁) = x(t₂) og y(t₁) = y(t₂) for at finde de to t-værdier svarende til dobbeltpunktet:

$$ 4t_1-t_1^3 = 4t_2-t_2^3 $$

$$ -t_1^2+1 = -t_2^2+1 $$

Ved hjælp af et CAS-værktøj fås følgende løsning:

$$ t_1=-2 ∧ t_2=2 $$

Man får også som en løsning at t₁ = t₂. Denne trivielle løsning skal man se bort fra (svarer ikke til et dobbeltpunkt).

Trin 2: Bestem x– og y-koordinaterne for dobbeltpunktet

Ud fra den fundne værdi af parameteren t₂ = 2 kan koordinatsættet bestemmes:

$$ \overrightarrow{r}(2) = \begin{pmatrix} 4 \cdot 2 -2^3 \\ -2^2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \end{pmatrix} $$

Man får samme stedvektor, hvis man benytter den anden fundne værdi af parameteren t₁ = –2. Dobbeltpunktet har dermed koordinatsættet (0,-3). Dette stemmer tilfældigvis overens med et af skæringspunkterne på y-aksen (se Figur 1).

ØVELSE: DOBBELTPUNKTER

Opsamling

I dette modul er beskrevet, hvordan man kan undersøge banekurven for en vektorfunktion. Du har nu opnået en forståelse for følgende:

Hvordan man bestemmer skæringspunkterne mellem banekurven for en vektorfunktion og x– og y-aksen i koordinatsystemet.
Hvordan man bestemmer punkter på banekurven, hvor der er en lodret eller vandret tangent (punkter med ingen ændring i koordinatfunktioner).
Hvordan man bestemmer et dobbeltpunkt (sted hvor banekurven skærer sig selv).

TEST: KURVEUNDERSØGELSE