Arealbestemmelse

Indledning

Både differentialregning og integralregning er inden for den gren af matematikken, der omtales som infinitesimalregning (regning med uendelig små størrelser). Differentialregning handler om at dividere uendelige små ændringer i y-værdien for en funktion med uendelige små ændringer i x-værdien. Dette fører som bekendt til beregning af væksten i funktionsværdien (dy/dx). Integralregning er det modsatte af differentialregning. Det forholder sig sådan, at det modsatte af beregning af vækst svarer til bestemmelse af arealer under funktionens graf.  I dette modul vil blive introduceret:

• Sammenhæng mellem integralregning og arealbestemmelse
• Integralregningens hovedsætning
• Arealbestemmelse vha. af bestemte integraler

Arealbestemmelse

Centralt for bestemmelse af arealer vha. af integralregning er integralregningens hovedsætning:

Integralregningens hovedsætning

Antag at f(x) er positiv for alle værdier af x i intervallet [a;b]. Lad A være det område (punktmængde), der ligger mellem grafen for f og x-aksen:

$$ A = \{ (x,y) | a \leq x \leq b \land 0 \leq y \leq f(x) \} $$

Da vil arealet af A være givet som det bestemte integral:

$$ Arealet \ af \ A = \int_{a}^{b} f(x) dx $$

For eksempel vil arealet under grafen for funktionen f(x)=x² for x i intervallet 0 til 5 være givet som følgende bestemte integral:

$$ Areal = \int_{0}^{5} x^2 dx = [\frac{1}{3} x^3]_{0}^{5} = \frac{1}{3} 5^3 – \frac{1}{3} 0^3 = 41,667 $$

Arealet under grafen i intervallet er dermed 41,667.

ØVELSE: AREALBESTEMMELSE

Opsamling

Dette modul har givet en introduktion til arealbestemmelse vha. af integralregning. Modulet har givet en forståelse for følgende:

• Bestemmelse af areal vha. af bestemte integraler
• Integralregnings hovedsætning

TEST: AREALBESTEMMELSE

Eksterne links

• Arealbestemmelse