Omvendte funktioner

Indledning

En given funktion kan beskrives som en regel eller operation der beskriver, hvordan en given talværdi som input giver en bestem talværdi som output. For de trigonometriske cosinus og sinus er en buelængde (vinkel) på enhedscirklen inputtet (v) og værdier på x– eller y-aksen er outputtet (cos eller sin). For en given funktion er den omvendte funktion den modsatte operation. De omvendte trigonometriske funktioner kan også defineres ud fra enhedscirklen man benytter en værdi på x– eller y-aksen som input og får en buelængde (vinkel) som output (cos^-1 eller sin^-1). I dette afsnit vil først blive behandlet begrebet omvendte funktioner generelt. Efterfølgende vil blive beskrevet de omvendte trigonometriske funktioner. Overskrifterne for modulet er:

Omvendte funktioner
Omvendte trigonometriske funktioner

Omvendte funktioner

For en given funktion f med x som den uafhængige variabel og y som den afhængigege variabel opnås den omvendte funktion f^-1 ved at bytte om på den afhængige og uafhængige variabel. Grafisk svarer dette til at man bytter rundt på den lodrette og vandrette akse eller spejler funktionens graf i linjen y=x. For at den resulterende variabel sammenhæng også er en funktion skal funktionen opfylde vandret kriteriet, hvilket vil sige at en vandret linje højst skærer grafen for f ét sted (én y-værdi svarer til én x-værdi). Man siger også at f skal være én-til-én for at have en omvendt funktion. En formel definition for omvendte funktioner er givet som følgende:

Omvendt funktion

Lad f være en funktioner der er én-til-én. Da er den omvendte funktion f^-1 givet som den funktion der for enhver værdi x inden for definitionsmængden af f opfylder følgende:

$$ f^{-1}(f(x)) = x $$

f vil per definition også være den omvendte funktion til f^-1. Der gælder derfor ligeledes:

$$ f(f^{-1}(x)) = x $$

Definitionsmængden for f vil være værdimængden for f^-1 og omvendt.

Mange almindeligt anvendte funktioner er defineret som den omvendte funktion til en anden almindelig funktionstype. Dette gælder f.eks. rødder og logaritmer. Kvadroden af et tal er en omvendte funktion til kvadrattet af et tal:

$$ f_1(x)=x^2 \Rightarrow f_1^{-1}(x)=\sqrt{x} $$

Tilsvarende vil andre rødder være de omvendte funktioner til en potensfunktion:

$$ f_2(x)=x^3 \Rightarrow f_2^{-1}(x)=\sqrt[3]{x} $$

$$ f_3(x)=x^n \Rightarrow f_3^{-1}(x)=\sqrt[n]{x} $$

Logaritmer er de omvendte funktioner til eksponentialfunktioner. En logaritme med grundtallet a er den omvendte funktion til en eksponentialfunktion med fremskrivningsfaktoren a:

$$ g_1(x)=a^x \Rightarrow g_2^{-1}(x)=log_a(x) $$

Dette er i overensstemmelse med definitionen til 10-talslogaritmen og den naturlige logaritme:

$$ g_2(x)=10^x \Rightarrow g_2^{-1}(x)=log_{10}(x) $$

$$ g_3(x)=e^x \Rightarrow g_3^{-1}(x)=log_e(x) = ln(x) $$

ØVELSE: OMVENDTE FUNKTIONER

Omvendte trigonometriske funktioner

De omvendte trigonometriske funktioner er nødvendige når vinkler skal bestemmes. I en retvinklet trekant hvor hypotenusen har en længde på 5 og en katete har en længde på 3 kan cosinus til en vinkel v bestemmes til 3/5 (hosliggende katete til vinklen divideret med hypotenusen). Efterfølgende benyttes til omvendte funktion til cosinus til at bestemme vinklen:

$$ v =cos^{-1}(3/5) = 53,14^\circ $$

De omvendte trigonometriske funktioner er kun defineret for et begrænset interval af de trigonometriske funktioners definitionsmængde da de ellers ikke ville være én-til-én.

Omvendte trigonometriske funktioner

Lad cosinus, sinus og tangens være defineret for et begrænset interval af de reelle tal:

$$ cos(x), x ∈ [0;2π] \ (eller \ x ∈ [0^\circ;360^\circ]) $$

$$ sin(x), x ∈ [-π;π] \ (eller \ x ∈ [-180^\circ;180^\circ]) $$

$$ tan(x), x ∈ [-π/2;π/2] \ (eller \ x ∈ [-90^\circ;90^\circ]) $$

Da er de omvendte (inverse) trigonometriske funktioner defineret således at:

$$ cos^{-1}(cos(x)) = x $$

$$ sin^{-1}(sin(x)) = x $$

$$ tan^{-1}(tan(x)) = x $$

Graferne for de inverse trigonometriske funktioner ses på billedet.