Harmoniske svingninger

Indledning

I dette modul vil blive beskrevet karakteristiske egenskaber ved trigonometriske funktioner, samt deres grafiske forløb. Overskrifterne for modulet er følgende:

Harmoniske svingninger
- Amplitude
- Vinkelfrekvens
- Parallelforskydning

Harmoniske svingninger

En harmonisk svingning er en funktion hvis udvikling gentager sig efter efter en given periode. Sinus er et godt eksempel på dette, da sin(x) gentager sin udvikling, når x er steget 2π (målt i radianer). Harmoniske svingninger bliver anvendt bredt til at beskrive fænomener, der over tid gentager sin udvikling (f.eks. vejret, temperaturen over et døgn, eller hvor mange is der bliver solgt på en given dag i løbet af året). Generelt er harmoniske svingninger defineret som:

Harmoniske svingninger

En funktion siges at være en harmonisk svingning, hvis forskriften for funktion kan beskrives som:

$$ f(x)=a \cdot sin(bx+c) + d, \ \ \ a, b > 0 $$

sin(x) er et simpelt eksempel på en harmonisk svingning (a=1, b=1, c=0 og d=0). Ligeledes er cos(x) en harmonisk svingning (cos(x)=sin(x-π/2)). I det følgende vil blive beskrevet, hvilken betydning de forskellige konstanter i forskriften for en harmonisk svingning har for udseendet af grafen for en harmonisk svingning.

ØVELSE: HARMONISKE SVINGNINGER

Amplitude (a)

Konstanten a i forskriften for en harmonisk svingning kaldes amplituden, og angiver størrelsen af udsvinget for den harmoniske svingning. Som eksempel kan man se, at udsvinget af følgende harmoniske svingning er 3:

$$ f(x)=3sin(x) $$

Hvis en harmonisk svingning beskriver en bølge vil amplituden svarer til det halve af bølgehøjden.

ØVELSE: AMPLITUDE AF HARMONISK SVINGNING

Vinkelfrekvensen (b)

Konstanten b kaldes vinkelfrekvensen og har betydning for, hvor meget x skal stige før udviklingen gentager sig. Hvor meget x skal stige før udviklingen gentager sig kaldes periodetiden og kan beregnes ud fra b:

Periodetid og frekvens

Lad b angive vinkelfrekvensen for en harmonisk svingning (f(x)=a·sin(bx+c)+d). Da kan periodetiden T bestemmes ud fra formlen:

$$ T = \frac{2\pi}{b} $$

Frekvensen f for den harmoniske svingning er defineret som 1/T og kan bestemmes med formlen:

$$ f = \frac{b}{2\pi} $$

Navnet periodetid kommer af, at harmoniske svingninger ofte beskriver tidsafhængige fænomener. Hvis en harmonisk svingning f.eks. beskriver svingningen af et pendul, vil periodetiden beskrive, hvor lang tid det tager for pendulet at lave en svingning, og frekvensen angiver antallet af svingninger per tidsenhed.

Følgende harmoniske svingning har en vinkelfrekvens på 2:

$$ g(x)=sin(2x) $$

Ud fra vinkelfrekvensen kan periodetiden og frekvensen bestemmes:

$$ T = \frac{2\pi}{2} = \pi $$

$$ f = \frac{2}{2\pi} = 0,3183 $$

ØVELSE: VINKELFREKVENS AF HARMONISK SVINGNING

Parallelforskydning (c og d)

Konstanterne c og d har ikke nogen betydning for formen af grafen for en harmonisk svingning, men afgør, hvor i koordinatsystemet grafen er placeret. Ændres d for en harmonisk svingning resulterer det i en lodret parallelforskydning af grafen. Ændres c resulterer det i en vandret parallelforskydning af grafen. Følgende tre harmoniske svingninger har den samme form af deres graf, men har forskellig placering i koordinatsystemet:

$$ f(x) = sin(x) $$

$$ g(x) = sin(x) + 1 $$

$$ h(x) = sin(x + \frac{\pi}{2}) $$