- 999 (Registered)
-
(0 Reviews)
Lineære differentialligninger
Indledning
Differentialligninger, der beskriver en lineær sammenhæng mellem den afledte y’ og funktionsværdien y, kaldes lineære differentialligninger (y’=ay+b). I dette modul vil blive behandlet 1. ordens lineære differentialligninger, samt metoder til at løse differentialligninger af denne art. Overskrifterne i modulet er følgende:
- Lineære differentialligninger
- Løsning af lineære differentialligninger
Lineære differentialligninger
En 1. ordens lineær differentialligning er en ligning, der kan skrives på følgende form:
Lineær differentialligning af 1. orden
En første ordens lineær differentialligning er en ligning, der kan skrives på formen:
$$ y’ + a(x)y = b(x) $$
a(x) og b(x), der kaldes koefficienterne, er funktioner af variablen x.
Følgende er et eksempel på en lineær differentialligning:
$$ y’ = 7y + 10x $$
Ved omskrivning fås:
$$ y’ – 7y = 10x $$
Koefficienterne a(x) og b(x) er dermed givet som:
$$ a(x)=-7 $$
$$ b(x)=10x $$
ØVELSE: LINEÆRE DIFFERENTIALLIGNINGER
Løsning af lineære differentialligning
Generel løsning
Den generelle løsning til lineære differentialligninger af 1. orden kan bestemmes med den formel, der kendes som Panserformlen:
Løsning til lineær differentialligning (Panserformlen)
Den fuldstændige løsning til den lineære differentialligning af 1. orden
$$ y’ + a(x)y = b(x) $$
er givet med følgende formel:
$$ y = e^{-A(x)}\int b(x)e^{A(x)} dx $$
hvor A(x) er en stamfunktion til a(x).
Som eksempel kan Panserformlen anvendes til at bestemme den generelle løsning til følgende lineære differentialligning:
$$ y’ + 2xy = 2x $$
Først beregnes en stamfunktion til koefficienten a(x):
$$ A(x)=\int 2x dx = x^2 $$
Nu indsættes de kendte størrelser i Panserformlen:
$$ y = e^{-x^2}\int 2x \cdot e^{x^2} dx $$
Her anvendes substitutionsmetoden ved substitution af x2 med t og 2x med dt/dx (fordi (x2)’=2x).
$$ y = e^{-x^2}\int e^{x^2} \cdot 2x dx = e^{-x^2}\int e^{t} \cdot \frac{dt}{dx} dx = e^{-x^2}\int e^{t} dt $$
Det generelle udtryk for det ubestemte integral bestemmes:
$$ y = e^{-x^2}(e^{x^2} + c) = e^{-x^2}e^{x^2} + ce^{-x^2} = 1 + ce^{-x^2} $$
Konstanten c kan være alle de reelle tal. Den generelle løsning er dermed givet som:
$$ y = 1 + ce^{-x^2} $$
ØVELSE: LØSNING AF LINEÆRE DIFFERENTIALLIGNINGER (GENERELT)
Løsning når koefficienter er konstante
I det specielle tilfælde, hvor koefficienterne i en lineær differentialligning er konstanter, findes der følgende generelle løsning til differentialligningen:
Løsning til lineær differentialligning med konstante koefficienter
Den fuldstændige løsning til den lineære differentialligning af 1. orden med konstante koefficienter
$$ y’ + ay = b $$
er givet med følgende formel:
$$ y = \frac{b}{a} + ce^{-ax}$$
hvor c er en konstant.
Som eksempel vil vi finde løsningen til følgende differentialligning:
$$ y’ + 2y = 2 $$
Værdierne af koefficienterne a og b sættes ind i formlen:
$$ y = \frac{2}{2} + ce^{-2x}$$
Efter en reduktion fås følgende som den generelle løsning til differentialligningen:
$$ y = 1 + ce^{-2x}$$
ØVELSE: LØSNING AF LINEÆRE DIFFERENTIALLIGNINGER (KONSTANTE KOEFFICIENTER)
Opsamling
Dette modul har givet en introduktion til lineære differentialligninger, samt hvordan de kan løses. Ved gennemgang af modulet har du fået en forståelse for:
- Lineære differentialligning af 1. orden
- Løsning af lineære differentialligninger vha. af Panserformlen
- Løsning af lineære differentialligninger med konstante koefficienter
TEST: LINEÆRE DIFFERENTIALLIGNINGER