Opgaver i Vektorer

Fag: Matematik A

Emne: Vektorer

Opgave 1: Karakteren 2

Emne: Basale vektoroperationer i 2D.

To vektorer i planen er givet ved $\vec{a} = \binom{3}{4}$ og $\vec{b} = \binom{-1}{2}$.

  • Opgave: Beregn koordinatsættet for vektoren $\vec{c} = 2\vec{a} – 3\vec{b}$, og bestem længden af vektor $\vec{a}$ (altså $|\vec{a}|$).

Opgave 2: Karakteren 4

Emne: Skalarprodukt og vinkler i 3D.

To vektorer i rummet er givet ved \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\) og $\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$.

  • Opgave: Beregn skalarproduktet $\vec{a} \cdot \vec{b}$, og bestem vinklen mellem de to vektorer.

Opgave 3: Karakteren 7

Emne: Determinant og linjens ligning i 2D.

En linje $l$ i planen er givet ved parameterfremstillingen: $\binom{x}{y} = \binom{2}{5} + t \cdot \binom{3}{-1}$

  • Opgave a: Bestem en normalvektor til linjen $l$, og opskriv linjens ligning på formen $ax + by + c = 0$.
  • Opgave b: En anden vektor er givet ved $\vec{v} = \binom{1}{4}$. Beregn determinanten $det(\vec{r}, \vec{v})$, hvor $\vec{r}$ er retningsvektoren for linjen $l$, og forklar hvad denne determinant fortæller om arealet af det parallelogram, de to vektorer udspænder.

Opgave 4: Karakteren 10

Emne: Planens ligning og krydsprodukt.

Tre punkter i rummet er givet ved $A(1, 0, 2)$, $B(3, -1, 5)$ og $C(0, 4, 2)$.

  • Opgave a: Bestem koordinatsættet for vektorerne $\vec{AB}$ og $\vec{AC}$, og benyt krydsproduktet (vektorproduktet) til at finde en normalvektor til den plan $\alpha$, der indeholder de tre punkter.
  • Opgave b: Opstil en ligning for planen $\alpha$.
  • Opgave c: Bestem afstanden fra punktet $P(10, 10, 10)$ til planen $\alpha$.

Opgave 5: Karakteren 12

Emne: Projektioner og teoretisk argumentation.

  • Opgave a: Udled formlen for projektionen af en vektor $\vec{a}$ på en vektor $\vec{b}$:

    $\vec{a}_{\vec{b}} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \cdot \vec{b}$

  • Opgave b: Givet to vektorer $\vec{u}$ og $\vec{v}$ i rummet, hvor $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$. Hvad kan du konkludere om de to vektorer? Hvordan adskiller dette sig fra situationen, hvor $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$?

  • Opgave c: Forklar sammenhængen mellem en linjes parameterfremstilling og en linjes ligning. Hvorfor kan man ikke opstille “en linjes ligning” på formen $ax + by + cz + d = 0$ i 3D (hvad ville den ligning i stedet forestille)?