Opgaver i Analytisk geometri
Fag: Matematik A
Emne: Analytisk plangeometri
Opgave 1: Karakteren 02
Emne: Afstand mellem to punkter.
To punkter i et koordinatsystem er givet ved $A(2, 5)$ og $B(10, 11)$.
- Opgave: Beregn afstanden $|AB|$ mellem de to punkter ved hjælp af afstandsformlen.
Opgave 2: Karakteren 4
Emne: Linjens ligning gennem to punkter.
En linje $l$ går gennem punkterne $P(-2, 4)$ og $Q(4, 7)$.
- Opgave: Bestem en ligning for linjen $l$ på formen $y = ax + b$.
Opgave 3: Karakteren 7
Emne: Cirklens ligning og identifikation.
En cirkel $C$ er beskrevet ved ligningen: $x^2 – 6x + y^2 + 8y = 0$
- Opgave: Omskriv ligningen til standardformen $(x – x_0)^2 + (y – y_0)^2 = r^2$ ved hjælp af kvadratkomplettering. Bestem herudfra cirklens centrum $C$ og radius $r$.
Opgave 4: Karakteren 10
Emne: Ortogonalitet og distancereglen.
En linje $m$ er givet ved ligningen $4x – 3y + 10 = 0$. Et punkt $P(6, 3)$ er placeret i koordinatsystemet.
- Opgave a: Beregn den vinkelrette afstand fra punktet $P$ til linjen $m$ ved hjælp af distancereglen (dist-formlen).
- Opgave b: Bestem ligningen for den linje $n$, der går gennem punktet $P$ og er ortogonal (vinkelret) på linjen $m$.
Opgave 5: Karakteren 12
Emne: Tangenter til cirkler og geometrisk bevisførelse.
En cirkel er givet ved ligningen $(x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 25$. Et punkt $P(5, 7)$ ligger på cirkelperiferien.
- Opgave a: Eftervis ved beregning, at punktet $P$ rent faktisk ligger på cirklen.
- Opgave b: Bestem ligningen for tangenten $t$ til cirklen i punktet $P$.
- Opgave c: Redegør for den geometriske strategi, du brugte i opgave b. Forklar, hvorfor radiusvektoren fra centrum til $P$ er en normalvektor til tangenten, og diskuter hvordan man kunne finde ligningen for en tangent, hvis punktet $P$ ikke lå på cirklen, men var et punkt uden for cirklen, som tangenten skulle passere igennem (beskriv blot metoden).