Opgaver i Vektorfunktioner

Fag: Matematik A

Emne: Vektorfunktioner

Emne: Basal vektorregning i 2D.

To vektorer er givet ved $\vec{a} = \binom{3}{4}$ og $\vec{b} = \binom{-2}{5}$.

Opgave a: Bestem koordinatsættet til vektoren $\vec{c} = 2\vec{a} – \vec{b}$.
Opgave b: Beregn længden af vektor $\vec{a}$, betegnet $|\vec{a}|$.
Opgave c: Bestem prikproduktet (skalarproduktet) $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Emne: Ortogonalitet og vinkler.

Vektor $\vec{u} = \binom{k}{3}$ og vektor $\vec{v} = \binom{4}{-2}$ er givet, hvor $k$ er et tal.

Opgave a: Bestem værdien af $k$, således at vektorerne $\vec{u}$ og $\vec{v}$ er ortogonale (vinkelrette på hinanden).
Opgave b: Lad nu $k = 1$. Beregn vinklen mellem $\vec{u}$ og $\vec{v}$.

Emne: Linjer i planen (parameterfremstilling og ligning).

En linje $l$ går gennem punktet $P(2, -1)$ og har retningsvektoren $\vec{r} = \binom{3}{4}$.

Opgave a: Opskriv en parameterfremstilling for linjen $l$.
Opgave b: Bestem en ligning for linjen $l$ på formen $ax + by + c = 0$.
Opgave c: Beregn den vinkelrette afstand fra punktet $Q(10, 5)$ til linjen $l$.

Emne: Projektion og arealet af parallelogrammer.

Vektorerne $\vec{a} = \binom{6}{2}$ og $\vec{b} = \binom{3}{5}$ udspænder et parallelogram.

Opgave a: Bestem projektionen af vektor $\vec{a}$ på vektor $\vec{b}$, betegnet $\vec{a}_{\vec{b}}$.
Opgave b: Beregn determinanten $det(\vec{a}, \vec{b})$ og benyt denne til at finde arealet af det parallelogram, som de to vektorer udspænder.
Opgave c: Forklar sammenhængen mellem determinanten og begrebet “tværvektor” ($\hat{a}$).

Emne: Vektorfunktioner og banekurver.

En partikel bevæger sig i planen. Dens position til tidspunktet $t$ er givet ved vektorfunktionen: $$\vec{r}(t) = \binom{t^2 – 4}{t^3 – 3t}$$

Opgave a: Bestem partiklens hastighedsvektor $\vec{v}(t) = \vec{r}^\prime(t)$ og accelerationvektor $\vec{a}(t) = \vec{r}^{\prime\prime}(t)$.
Opgave b: Find de tidspunkter $t$, hvor banekurven skærer y-aksen, og bestem koordinatsættene til disse skæringspunkter.
Opgave c: Banekurven har et selvskæringspunkt (et punkt hvor partiklen passerer samme sted to gange). Bestem koordinatsættet til dette selvskæringspunkt.
Opgave d: Bestem en ligning for tangenten til banekurven i det punkt, der svarer til $t = 2$. Diskuter herunder, hvad det betyder for partiklens bevægelse, hvis hastighedsvektoren i et punkt er nulvektoren (en singulær værdi).

New Customer