- 999 (Registered)
-
(0 Reviews)
Partielle afledede
Indledning
For funktioner af to variabler (x og y), hvor grafen er en glat flade i rummet, kan man bestemme væksten i ethvert punkt, når der sker en ændring i hver af de uafhængige variabler. Væksten i et punkt med hensyn til én af de uafhængige variabler kaldes en partiel afledet til funktionen i punktet. Ud fra de partielle afledede kan man bestemme i hvilken retning, der er den største ændring i grafen (gradienten), eller vurderer om grafen er flad i punktet (stationært punkt). Overskrifterne for modulet er:
- Partielle afledede
- Gradienter
- Stationære punkter
Partielle afledede
Ved den afledede af en funktion af to variabler (f(x,y)) menes en funktion, der angiver tilvæksten i funktionsværdien med hensyn til enten en ændring i x eller en ændring i y. Dette giver to funktioner, som kaldes de partielle afledede af funktionen.
Partielle afledede
Lad f være en funktion af to variabler x og y. Den partielle afledede af f med hensyn til x er den funktion, der fremkommer, når f differentieres med hensyn til x (y behandles som en konstant). Denne betegnes:
$$ \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \ \ eller \ \ f_x'(x,y) $$
Tilsvarende er den partielle afledede af f med hensyn til y den funktion, der fremkommer, når f differentieres med hensyn til y (x behandles som en konstant). Denne betegnes:
$$ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \ \ eller \ \ f_y'(x,y) $$
Som eksempel vil vi bestemme de partielle afledede til funktionen:
$$ f(x,y)=x^2-y^2+xy $$
Den partielle afledet med hensyn til x vil vha. af almindelige regler for differentiation kunne bestemmes til:
$$ \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 2x+y $$
Ved differentiationen er det blevet antaget, at y er en ukendt konstant. Af den grund går ledet y2 helt ud, da det ikke indeholder x (den afledet af et konstantled er 0). Tilsvarende vil den afledet med hensyn til y kunne bestemmes til:
$$ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = -2y+x $$
Her er x blevet behandlet som en konstant, og ledet der kun indeholder x forsvinder.
Partielle afledede af højere grad opnås ved at aflede de partielle afledede igen med hensyn til x eller y. Der benyttes følgende notation for anden ordens afledede funktioner:
$$ \frac{\partial \frac{\partial f}{\partial x}}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y) = f_{xx}”(x,y) $$
$$ \frac{\partial \frac{\partial f}{\partial y}}{\partial y}(x,y) = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y) = f_{yy}”(x,y) $$
$$ \frac{\partial \frac{\partial f}{\partial x}}{\partial y}(x,y) = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y) = f_{xy}”(x,y) $$
$$ \frac{\partial \frac{\partial f}{\partial y}}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y) = f_{yx}”(x,y) $$
Gradienter
Ofte opskrives begge partielle afledede til en funktion f som vektorkoordinater, med fx‘(x,y) som første-koordinaten og fy‘(x,y) som anden-koordinaten. Denne vektor kaldes en gradient for funktionen.
Gradient
Lad f være en funktion af to variabler x og y der har partielle afledede i ethvert punkt.
Gradienten af funktionen f er defineret som:
$$ \nabla f(x,y) =\begin{pmatrix} f_x'(x,y) \\ f_y'(x,y) \end{pmatrix} $$
Gradienten af funktionen f i et punkt (x0,y0) er defineret som:
$$ \nabla f(x_0,y_0) =\begin{pmatrix} f_x'(x_0,y_0) \\ f_y'(x_0,y_0) \end{pmatrix} $$
For funktionen f(x,y)=x2–y2+xy blev de partielle afledede bestemt til at være:
$$ f_x'(x,y) = 2x+y $$
$$ f_y'(x,y) = -2y+x $$
Gradient af f vil dermed være:
$$ \nabla f(x,y) =\begin{pmatrix} 2x+y \\ -2y+x \end{pmatrix} $$
Gradienten i punktet (1,2) kan beregnes ud fra gradienten af f:
$$ \nabla f(1,2) =\begin{pmatrix} 2 \cdot 1 +2 \\ -2 \cdot 2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}$$
Retningen og længden af gradienten angiver den maksimale stigning i funktionen for punkterne på funktionens graf.
Betydning af gradienten
Lad f være en funktion af to variabler x og y, der har partielle afledede i punktet (x0,y0).
Retningen i xy-planen, der giver den største stigning af funktionsværdien, svarer til retningen af gradient i punktet:
$$ \nabla f(x_0,y_0) =\begin{pmatrix} f_x'(x_0,y_0) \\ f_y'(x_0,y_0) \end{pmatrix} $$
Størrelsen af den største stigning er givet som længden af gradienten i punktet:
$$ |\nabla f(x_0,y_0)|=\sqrt{f_x'(x_0,y_0)^2+f_y'(x_0,y_0)^2} $$
For funktionen f(x,y) = x2 –y2 + xy er gradienten i punktet (1,2) bestemt til:
$$ \nabla f(1,2) = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}$$
Dette er dermed den retning, hvor grafen for funktionen har den største hældning i punktet. Størrelsen af stigningen i gradientens retning er givet som:
$$ |\nabla f(x_0,y_0)|=\sqrt{4^2+(-3)^2} = 5 $$
Stationære punkter
I det særlige tilfælde, hvor gradienten i et punkt er nulvektoren (vektor med længden 0) kan grafen opfattes som flad i punktet (hældningen er 0). Dette kaldes et stationært punkt og omfatter bl.a. maksimums- og minimumspunkter.
Stationært punkt
Lad f være en funktion af to variabler x og y. Et stationært punkt (x0,y0) i definitionsmængden for f er et punkt, hvor begge de partielle afledede er 0. Dvs. gradienten i punktet er nulvektoren:
$$ \nabla f(x_0,y_0) =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Der findes tre typer af stationære punkter: maksimumspunkt, minimumspunkt og saddelpunkt. Et maksimumspunkt (x0,y0) for en funktion af to variabler er et punkt, hvor den tilhørende funktionsværdi har en større værdi end funktionsværdierne for alle punkter i omegnen af (x0,y0) (grafen danner en top ved punktet). Omvendt er et minimumspunkt (x0,y0) et punkt, hvor den tilhørende funktionsværdi har en mindre værdi end funktionsværdierne for alle punkter i omegnen af (x0,y0) (grafen danner en dal ved punktet). Et stationært punkt som, hverken er et maksimums- eller minimumspunkt, kaldes et saddelpunkt (grafen ligner ofte en saddel omkring punktet).
Gradienten for funktionen f(x,y) = x2 –y2 + xy er givet som:
$$ \nabla f(x,y) =\begin{pmatrix} 2x+y \\ -2y+x \end{pmatrix} $$
Det ses, at punktet (0,0) er et stationært punkt:
$$ \nabla f(0,0) =\begin{pmatrix} 2 \cdot 0 +0 \\ -2 \cdot 0 +0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Ud fra grafen ser det hverken ud til, at (0,0) er et maksimums- eller minimumspunkt, og der må dermed være tale om et saddelpunkt (se Figur 1).
Opsamling
Dette modul har beskrevet begreberne partielle afledede og gradient og disse begrebers sammenhæng med stationære punkter. Du har nu opnået en forståelse for følgende:
- Definitionen af partielle afledede til en funktion af to variabler (fx‘(x,y) og fy‘(x,y)).
- Definitionen af gradienten til en funktion af to variabler, og at gradienten angiver retningen og størrelsen af den største stigning i et punkt.
- Definitionen af stationære punkter ud fra gradienten (punkter hvor grafen er flad).
- Definition af de tre typer af stationære punkter: maksimums-, minimums- og saddelpunkt.
Opgaver
OPGAVE: Funktioner af to variabler