Introduktion til differentialligninger

Indledning

Differentialregning handler om at bestemme væksten af en funktion f(x) for forskellige værdier af x. Den funktion der svarer til væksten for alle værdier x kaldes den afledte funktion (f‘(x)). Ved mange virkelige problemstillinger er det muligt at opstille ligninger, der angiver en sammenhæng mellem en funktion og den afledte af funktionen, som f.eks.

$$ f'(x) = 10 f(x) $$

Dette er et eksempel på en differentialligning. Løsningen til differentialligningen vil her være et udtryk for f(x). De problemstillinger som typisk kan beskrives med differentialligninger, er problemer der omhandler vækstegenskaber (f.eks. udviklingen af antallet af personer som er smittet med corona). I dette modul vil blive introduceret:

• 1. ordens differentialligninger
• Generelle løsning til en differentialligning
• Specifik løsning til en differentialligning

Differentialligninger

Enhver ligning som indeholder den afledte af en funktion som en variabel, er en differentialligning. Et simpelt eksempel på dette er

$$ f'(x) = 2x $$

Dette er en 1. ordens differentialligning, da den indeholder den første afledte f'(x) (en 2. ordens differentialligning indeholder den anden afledte f”(x)). Ved integration kan man se, at en løsning til denne funktion er

$$ f(x) = x^2 $$

En generel løsning vil være

$$ f(x) = x^2 + k $$

hvor k kan være alle tal.

Et mere kompliceret eksempel på en differentialligning er

$$ f'(x) = 2f(x) $$

Her udtrykkes den afledte af en funktion med funktionen selv. Denne ligning kan ikke uden videre løses vha. af integration, men med lidt kendskab til denne type af differentialligninger, vil man kunne se at en løsning til ligningen vil være

$$ f(x) = e^{2x} $$

En generel løsning til ligningen vil være

$$ f(x) = k \cdot e^{2x} $$

hvor k kan være alle tal.

ØVELSE: DIFFERENTIALLIGNINGER

Opsamling

Dette modul har givet en introduktion til emnet differentialligninger. Modulet har givet en forståelse for følgende:

• Definitionen af differentialligninger
• 1. ordens differentialligninger
• Løsning af differentialligninger
• Modellering vha. af differentialligninger

TEST: INTRODUKTION TIL DIFFERENTIALLIGNINGER

Eksterne links

• Introduktion til differentialligninger