- 999 (Registered)
-
(0 Reviews)
Vækstmodeller
Indledning
Her vil blive behandlet, hvordan differentialligninger kan bruges til at beskrive vækstegenskaber. Overskrifterne på modulet er følgende:
- Uhæmmet vækst: y‘ = ky
- Hæmmet vækst : y‘ = k(M–y)
- Logistisk vækst: y‘ = ky(M–y)
Uhæmmet vækst: y‘ = ky
En funktion, hvor størrelsen af den afledte er proportional med værdien af funktionen selv (y’ = ky) vil altid være en eksponentiel funktion:
Løsning af y‘ = ky (uhæmmet vækst)
En differentialligning på formen y‘ = ky, hvor k er en konstant, har den generelle løsning:
$$ y = C \cdot e^{kx} $$
hvor C er en konstant.
For eksempel vil differentialligningen y‘ = 10y have den gennerelle løsning y = Ce10x.
Hæmmet vækst: y‘ = k(M–y)
En funktion, hvor størrelsen af den afledte er proportional med en øvre grænse minus værdien af funktionen selv (y‘ = k(M–y)) vil have følgende form:
Løsning af y‘ = k(M–y) (hæmmet vækst)
En differentialligning på formen y‘ = k(M–y), hvor k og M er reelle konstanter, har den følgende løsning:
$$ y = M(1- e^{-kx}) $$
hvis løsningskurven går gennem (0,0).
For eksempel vil differentialligningen y‘ = 10(100-y) have y = 100(1-e-10x) som en løsning.
Logistisk vækst: y‘ = ky(M–y)
En kombination af uhæmmet og hæmmet vækst er logistisk vækst:
Løsning af y‘ = ky(M–y) (logistisk vækst)
En differentialligning på formen y‘ = ky(M–y), hvor k og M er reelle konstanter, har den følgende løsning:
$$ y = \frac{M}{1-C \cdot e^{-kMx}} $$
hvor C er en reel konstant.
For eksempel vil den logistiske ligning y’ = 10y(100-y) have den generelle løsning y = 100/(1-Ce-1000x).
Opsamling
Dette modul har behandlet vækstegenskaber, hvor differentialligninger er blevet anvendt. Modulet har givet en forståelse for følgende:
- Modellering af udviklinger ved at opstille differentialligninger
- Uhæmmet vækst: bestemmelse af løsning til y’ = ky
- Hæmmet vækst: bestemmelse af løsning til y‘ = k(M–y)
- Logistisk vækst: bestemmelse af løsning til y‘ = ky(M–y)