- 999 (Registered)
-
(0 Reviews)
Ubestemte integraler
Indledning
Stamfunktioner bliver omtalt som ubestemte integraler, når man ikke ønsker at være præcis omkring, hvilken stamfunktion man taler om (der findes flere stamfunktioner til én kontinuer funktion). Her vil blive behandler ubestemte integraler og metoder, der benyttes, når man bestemmer ubestemte integraler. Overskrifterne i modulet er følgende:
- Ubestemte integraler
- Regneregler for ubestemte integraler
- Substitutionsmetoden
Ubestemte integraler
For funktionen f(x) = 2x + 1 vil alle funktioner på formen F(x) = x2 + x + k være en stamfunktion, hvor k kan være alle tal. Mængden af alle stamfunktioner til en given funktion kaldes det ubestemte integral til funktionen. Det ubestemte integral for en funktion f kan skrives på følgende måde:
$$ \int f(x) dx $$
Det ubestemte integral til funktionen f(x)=2x + 1 vil kunne skrives som:
$$ \int f(x) dx = \int (2x+1) dx = x^2 + x + k $$
Her kan k være alle tal og det er dermed ubestemt, hvilken stamfunktion der er tale om.
Regneregler for ubestemte integraler
Der findes simple regler for at integrere summen og differensen af to funktioner, samt en funktion ganget med en konstant:
Regneregler for ubestemte integraler
Lad f og g angive to kontinuere funktioner, og lad k angive et vilkårligt tal. Da gælder følgende regler for ubestemte integraler:
$$ \int (f(x)+g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx $$
$$ \int (f(x)-g(x)) dx = \int f(x) dx – \int g(x) dx $$
$$ \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx $$
Disse regler minder om tilsvarende regler for differentiation af funktioner. Der findes desværre ikke nogle regneregler til at bestemme det ubestemte integral af produktet af to vilkårlige funktioner eller en brøk af to funktioner, som man kender det for afledede funktioner.
ØVELSE: REGNEREGLER FOR UBESTEMTE INTEGRALER
Substitutionsmetoden
En metode der indimellem kan gør det muligt at bestemme integralet af en funktion med en kompliceret forskrift er substitutionsmetoden:
Substitutionsmetoden
$$ \int f(t) \frac{dt}{dx} dx = \int f(t) dt $$
Som eksempel kan man benytte metoden til at integrere funktionen h(x) = ex2·2x. Her vil det være naturligt at sætte t=x2:
$$ \int h(x) dx = \int (e^{x^2} \cdot 2x ) dx = \int e^t \cdot \frac{dt}{dx} dx = \int e^t dt = e^t + k = e^{x^2} + k $$
Opsamling
Dette modul har givet en introduktion til ubestemte integraler. Modulet har givet en forståelse for følgende:
- Definition af ubestemte integraler
- Notation for ubestemte integraler
- Regneregler for ubestemte integraler
- Substitutionsmetoden