- 999 (Registered)
-
(0 Reviews)
Differentiation af vektorfunktion
Indledning
Den afledte af en vektorfunktion er en vektor, der beskriver retning og længde af ændringen i banekurven for den pågældende vektorfunktion. Overskrifterne for dette modul er følgende:
- Hastighedsvektor til vektorfunktion
- Tangent til banekurven for vektorfunktion
Hastighedsvektor til vektorfunktion
Differentialkvotienten til en vektorfunktion r er defineret som vektorfunktion, der dannes, når man differentiere koordinatfunktionerne til r.
Differentialkvotient til en vektorfunktion
En vektorfunktion r har x(t) og y(t) som koordinatfunktioner:
$$ \overrightarrow{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}, \ t∈I $$
r er differentiabel i t0, hvis x‘(t0) og y‘(t0) eksisterer. Differentialkvotienten r‘(t0) er defineret som:
$$ \overrightarrow{r}'(t_0) = \begin{pmatrix} x'(t_0) \\ y'(t_0) \end{pmatrix} $$
r‘(t0) angiver retningen og størrelsen af ændringen af vektorfunktionen, når parameteren har værdien t0. Differentielkvotienten bliver derfor også omtalt som en hastigheden v for vektorfunktionen. Som eksempel ses på følgende vektorfunktion:
$$ \overrightarrow{r}(t) = \begin{pmatrix} t^2 \\ t^3 \end{pmatrix} $$
Differentialkvotienten til funktion fås ved at differentiere begge koordinatfunktioner:
$$ \overrightarrow{r}'(t) = \overrightarrow{v}(t) = \begin{pmatrix} 2t \\ 3t^2 \end{pmatrix} $$
Den dobbelt afledte til r svarer til ændringen i hastigheden og omtales som accelerationen a:
$$ \overrightarrow{r}”(t) = \overrightarrow{v}'(t) = \overrightarrow{a}(t) = \begin{pmatrix} 2 \\ 6t \end{pmatrix} $$
For t = 1 kan stedvektoren r, hastigheden v og accelerationen a nu bestemmes:
$$ \overrightarrow{r}(1) = \begin{pmatrix} 1^2 \\ 1^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ \overrightarrow{v}(1) = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 \\ 3 \cdot 1^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} $$
$$ \overrightarrow{a}(1) = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix} $$
ØVELSE: DIFFERENTIALKVOTIENT TIL VEKTORFUNKTION
Tangent til banekurven for vektorfunktion
For en vektorfunktionen r der er differentiabel i t0 angiver r‘(t0) en retningsvektor for tangenten til banekurven i punktet svarende til r(t0). I det særlige tilfælde, hvor r‘(t0) er nulvektoren har banekurven ikke en tangent i punktet, men en spids.
Tangent til banekurve
En vektorfunktion r har x(t) og y(t) som koordinatfunktioner:
$$ \overrightarrow{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}, \ t∈I $$
Lad r være differentiabel i t0. Hvis r‘(t0) er en egentlig vektor er tangenten i punktet på banekurven svarende til r(t0) givet med parameterfremstillingen:
$$ \overrightarrow{s}(t) = \overrightarrow{r}(t_0) + t \cdot \overrightarrow{r}'(t_0) $$
Hvis r‘(t0) er nulvektoren har banekurven ikke en tangent i punktet (svarer til en spids på banekurven).
For vektorfunktionen
$$ \overrightarrow{r}(t) = \begin{pmatrix} t^2 \\ t^3 \end{pmatrix} $$
blev bestemt følgende stedvektor og hastighedsvektor i t=1:
$$ \overrightarrow{r}(1) = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ \overrightarrow{r}'(1) = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} $$
Dette giver følgende parameterfremstilling for tangen til banekurven i punktet (1,1):
$$ \overrightarrow{s}(1) = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} $$
Opsamling
Dette modul har defineret differentialkvotienten til en vektorfunktion og beskrevet, hvordan denne kan anvendes til at udlede tangenten til en banekurve i et punkt. Du har nu opnået en forståelse for følgende:
- Bestemmelse af differentialkvotienten til en vektorfunktion.
- Differentialkvotienten angiver hastigheden af ændringen i x– og y-koordinaten for en vektorfunktion.
- Bestemmelse af tangent til en banekurve i et punkt.
TEST: DIFFERENTIATION AF VEKTORFUNKTION