Introduktion til funktioner af to variabler

Indledning

En sammenhæng af typen f(x) = ax + b er en funktion af én variabel, idet der kun er én uafhængig variabel (x) som funktionsværdien afhænger af. En sammenhæng af typen f(x,y) = ax + by + c kaldes en funktion af to variabler, da både x og y er uafhængige variabler, som funktionsværdien afhænger af. Dette modul introducerer begrebet funktioner af to variabler med et par eksempler, inklusiv funktionstypen lineære funktioner af to variabler. Overskrifterne for modulet er:

• Eksempler på funktioner af to variabler.
• Lineære funktioner af to variabler.

Eksempler på funktioner af to variabler

Følgende er alle eksempler på forskriften på funktioner af to variabler:

$$ f(x,y) = 2x+3y+5 $$

$$ g(x,y) = x^2+y^2 $$

$$ h(x,y) = x^2+y^2+2xy $$

Notationen f(x,y) angiver, at funktionsværdien for f afhænger af værdierne af de uafhængige variabler x og y. For eksempel kan funktionsværdien for f for x = 1 og y = 7 bestemmes til at være 28 ud fra forskriften:

$$ f(1,7) = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 7 + 5 = 28 $$

Man illustrerer funktioner af to variabler grafisk i tre dimensioner, idet der for hvert tal-par af de uafhængige variabler (x– og y-akserne) er en funktionsværdi (z-aksen). Grafen for en funktion af to variabler danner typisk en flade i rummet (figuren viser grafen for f).

ØVELSE: FUNKTION AF TO VARIABLER

Lineære funktioner af to variabler

Lineære funktioner er den mest anvendte funktionstype inden for matematik. Ved funktioner af to variabler har lineære funktioner følgende definition:

Lineære funktioner af to variabler

En lineær funktion af to variabler er en funktion, der har en forskrift af typen

$$ f(x,y) = ax+by+c $$

Funktionen med forskriften f(x,y) = 2x + 3y + 5 er et eksempel på en lineær funktion af to variabler (a = 2, b = 3 og c = 5). Grafen for en lineær funktion af to variabler er en plan flade i rummet. Konstantledet c angiver planens skæringen med z-aksen (dvs. f(0,0) = c). Konstanterne a og b angiver, hvor meget funktionsværdien ændrer sig, når der sker en ændring på 1 i henholdsvis x-værdien eller y-værdien. Figuren viser graferne for de funktioner af x og y, der opnås når henholdsvis y og x sættes til konstant at være 0 i f(x,y) = 2x + 3y + 5 (snitkurver af planen).

ØVELSE: LINEÆRE FUNKTIONER AF TO VARIABLER

Opsamling

Dette modul har givet en introduktion til emnet funktioner af to variabler, herunder lineære funktion. Du har nu opnået en forståelse for følgende:

• Funktion af to variabler har to uafhængige variabler (z = f(x,y)).
• Grafen til en funktion af to variabler danner en plan i et 3-dimensionelt rum.
• Definitionen af lineære funktioner af to variabler (f(x,y) = ax+by+c).
• Grafen for en lineær funktion af to variabler er en plan flade i rummet.

TEST: INTRODUKTION TIL FUNKTIONER AF TO VARIABLER

Eksterne links

• Funktioner af to variabler – Hvad er det?
• Lineær funktion i to variabler