Separable differentialligninger

Indledning

En særlig kategori af differentialligninger er separable differentialligninger. For løsningen af disse er der særlige fremgangsmåder. Overskrifterne for modulet er:

• Separable differentialligninger
• Løsning af y’ = f(x)
• Løsning af y‘ = g(y)
• Løsning af y‘ = f(x)g(y)

Separable differentialligninger

Separable differentialligninger er ligninger, hvor den afledte af funktionen (y‘) kan udtrykkes som to faktorer, hvor den ene faktor er en funktion af den uafhængige variabel (f(x)), og den anden faktor er en funktion af den afhængige variabel (g(y)). Dette kan skrives som

$$ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) $$

Som eksempel på en separabel differentialligning kan man se på ligningen y‘ = x²y². Her kan højresiden splittes op i en faktor som kun afhænger af x (x²) og en faktor som kun afhænger af y (y²). Omvendt vil ligningen y‘ = x²+y² ikke være separabel.

Generelt vil differentialligninger, hvor den afledte kun afhænger af den ene af variablerne x eller y, være særlige eksempler på separable differentialligninger (f(x)=1 eller g(y)=1). Dette fører til tre typer af separable differentialligninger:

Type I: Afledte afhænger kun af x (g(y)=1)

$$ \frac{dy}{dx} = f(x) $$

Type II: Afledte afhænger kun af y (f(x)=1)

$$ \frac{dy}{dx} = g(y) $$

Type III: Afledte afhænger både af x og y

$$ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) $$

ØVELSE: SEPARABLE DIFFERENTIALLIGNINGER

Løsning af y‘ = f(x)

Løsning af en separabel differentialligning af type I svarer ganske enkelt til at bestemme en stamfunktion (standard problemet inden for integralregning):

Løsning af differentialligning på formen y‘ = f(x) (type I)

Lad en differentialligning være givet ved

$$ \frac{dy}{dx} = f(x) $$

Da vil den gennerelle løsning være givet som

$$ y = \int f(x) dx $$

Som eksempel vil løsningen til differentialligningen y‘=2x være y=x²+k (k er en vilkårlig konstant).

ØVELSE: LØSNING AF y’=f(x)

Løsning af y‘ = g(y)

Fremgangsmåden til løsning af en separabel differentialligning af type II involverer bestemmelse af en stamfunktion af 1/g(y), med y som den uafhængige variabel:

Løsning af differentialligning på formen y‘ = g(y) (type II)

Lad en differentialligning være givet ved

$$ \frac{dy}{dx} = g(y) $$

Da vil den gennerelle løsning være givet som

$$ x = \int \frac{1}{g(y)} dy $$

Ved at isolere y i udtrykket opnås eksplicit forskrift til bestemmelse af y ud fra x.

Som eksempel kan man se på ligningen y‘=y. Først bestemmes følgende integrale:

$$ x = \int \frac{1}{y} dy = ln(y) + k $$

Dernæst isoleres y i udtrykket x = ln(y)+k:

$$ e^x = e^{ln(y)+k}=e^{ln(y)} \cdot e^k = y \cdot e^k $$

$$ y = e^{-k} \cdot e^x $$

$$ y = C \cdot e^x $$

C er her en vilkårlig positiv konstant.

ØVELSE: LØSNING AF y’=g(y)

Løsning af y‘ = f(x)g(y)

Fremgangsmåden til at løse det generelle tilfælde af en separabel differentialligning (type III) involvere både bestemmelse af stamfunktionen til f(x) og 1/g(y):

Løsning af differentialligning på formen y‘ = f(x)g(y) (type III)

Lad en differentialligning være givet ved

$$ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) $$

Da vil den gennerelle løsning være givet som

$$ \int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx $$

Ved at isolere y i udtrykket opnås eksplicit forskrift til bestemmelse af y ud fra x.

Som eksempel kan man løse differentialligningen y‘=xy:

$$ \int \frac{1}{y} dy = \int x dx $$

$$ ln(y) = \frac{1}{2} x^2 + k $$

$$ y = e^{\frac{1}{2} x^2 + k} = e^k e^{\frac{1}{2} x^2} $$

$$ y = C \cdot e^{\frac{1}{2} x^2} $$

C er her en vilkårlig positiv konstant.

ØVELSE: LØSNING AF y’=f(x)g(y)

Opsamling

Dette modul har givet en gennemgang af fremgangsmåderne til løsning af separable differentialligninger. Modulet har givet en forståelse for følgende:

• De forskellige typer af separable differentialligninger
• Løsning af y‘ = f(x)
• Løsning af y‘ = g(y)
• Løsning af y‘ = f(x)g(y)

TEST: SEPARABLE DIFFERENTIALLIGNINGER

Eksterne links

• Separable differentialligninger
• Stamfunktion og de ubestemte integral
• Løsning af y’=ky
• Løsning af y’=f(x)g(y)