- 999 (Registered)
-
(0 Reviews)
Introduktion til fordelinger
Indledning
De fleste eksperimenter der giver en talværdi kan ikke forudsiges præcist. Som regel kan man kun sige hvad værdien er med en vis sandsynlighed. Sandsynlighederne for alle mulige udfald af en variabel ved et givent eksperiment kaldes sandsynlighedsfordelingen for variablen. De mest almindeligt forekomne fordelinger er dem der kendes som normalfordelinger. I dette modul vil blive beskrevet følgende grundlæggende begreber i forhold til sandsynlighedsfordelinger:
- Kontinuer stokastisk variabel
- Tæthedsfunktion
- Fordelingsfunktion
Kontinuer stokastisk variabel
Lad os forestille os et eksperiment, hvor en skovhugger vil fælde et tilfældigt udvalgt træ i en skov, hvor det træerne er mellem 0 og 100 meter. Ved dette eksperiment er højden af et valgt træ en variabel, der kan antage en hvilken som helst værdi i intervallet fra 0 til 100 meter (f.eks. 14,947 meter). En variabel der ved et eksperiment kan antage alle værdier i et interval af reelle tal kaldes en kontinuer stokastisk variabel. For træ-eksemplet er det uinteressant, hvad sandsynligheden er for, at det træ der bliver fældet har en bestemt højde, da udfaldsrummet indeholder uendelige mange højder. Ud fra kombinatoriske betragtninger vil dette nemlig give en sandsynlighed for alle udfald på 0% (f.eks. P(X=15) = 0%). Ved kontinuere stokastiske variabler interesserer man sig derimod for, hvad sandsynligheden er for, at et udfald ligger i et bestemt interval. Hvis man antager at sandsynligheden for alle højder af træer er den samme, vil sandsynlighed være 1% for at fælde et træ imellem 14 og 15 meter (P(14<X<15) = 1/100), og 10% for at fælde et træ der er mindre en 10 meter (P(X<10) = 10/100).
ØVELSE: KONTINUERE STOKASTISKE VARIABLER
Tæthedsfunktion
Sandsynlighedsfordelingen for en kontinuer stokastisk variabel beskrives med en tæthedsfunktion. Tæthedsfunktionen har intervallet af alle værdier i udfaldsrummet som sin definitionsmængde. Sandsynligheden for, at en given værdi ligger i et givent interval kan bestemmes som arealet under grafen for tæthedsfunktionen i det givne interval. For træerne i en skov gælder, at der er større sandsynlighed for at finde et lille træ end et højt træ. Dette kunne f.eks. beskrives med følgende tæthedsfunktion:
$$ f(x)=\frac{1}{10} \cdot e^{-x/10} $$
Som man kan se på grafen for tæthedsfunktion er der meget lille sandsynlighed for at finde et træ der er højere end 50 meter. Arealet under hele grafen for funktionen er 1 (100%).
Fordelingsfunktion
Fordelingsfunktionen for en kontinuer stokastisk variabel beskriver sandsynligheden for, at den stokastiske variabel er mindre end en given værdi. Dette svarer til den kumulerede frekvens inden for statistik. Det kan også beskrives som det bestemte integral til tæthedsfunktionen med den mindste værdi som nedre grænse. For træ-eksemplet med den angivne tæthedsfunktion f vil fordelingsfunktionen kunne bestemmes som det bestemte integral fra 0 og til x:
$$ F(x)=\int_0^x{f(t)}dt=\int_0^x{\frac{1}{10} \cdot e^{-x/10}} = [-e^{-x/10}]_0^x = 1-e^{-x/10} $$
Fordelingsfunktionen har dermed forskriften:
$$ F(x)=1-e^{-x/10} $$
I overensstemmelse med, at få træer er over 50 meter har fordelingsfunktionen en værdi tæt på 100% ved en højde på over 50 meter.
Opsamling
I dette modul er blevet beskrevet følgende vigtige begreber i forhold til fordelinger:
- Kontinuer stokastisk variabel
- Tæthedsfunktioner
- Fordelingsfunktioner
TEST: INTRODUKTION TIL FORDELINGER