- 999 (Registered)
-
(0 Reviews)
Bestemte integraler
Indledning
Et bestemt integral til en funktion er en stamfunktion (eller stamfunktionsværdi), der opfylder nogle særlige kriterier. Her vil blive introduceret eksempler på bestemte integraler, samt hvordan bestemte integraler bestemmes. I modulet vil blive behandlet følgende:
- Definition af bestemte integraler
- Bestemmelse af bestemte integraler
Bestemte integraler
En given kontinuer funktion kan have mange stamfunktioner. F.eks. vil samtlige af følgende funktioner være en stamfunktion til f(x) = 2x:
$$ F_1(x) = x^2 +1 $$
$$ F_2(x) = x^2 + 2 $$
$$ F_3(x) = x^2 + 3 $$
Begrebet stamfunktion er dermed en ubestemt størrelse. Men ser vi på forskellen mellem værdien af stamfunktionen for to forskellige værdier af x vil den altid have en bestemt værdi. F.eks. vil forskellen mellem værdien af stamfunktionens værdi for x lig med 0 og 4 altid være 16 for f, uanset hvilken af de tre stamfunktioner man vælger:
$$ F_1(4)-F_1(0) = 4^2 +1 – (0^2 +1) = 17-1 = 16 $$
$$ F_2(4)-F_2(0) = 4^2 + 2- (0^2 +2) = 18-2 = 16 $$
$$ F_3(4)-F_3(0) = 4^2 + 3- (0^2 +3) = 19-3 = 16 $$
At forskellen i stamfunktionen er den samme giver grundlag for definitionen af det bestemte integral, der netop er defineret som ændringen i funktionsværdien for en stamfunktion:
Bestemte integral
Det bestemte integral for en funktion angiver ændringen i en given stamfunktion for to forskellige værdier af den uafhængige variabel. For funktionen f med startværdien a og slutværdien b, vil notationen for det bestemte integral være følgende:
$$ \int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b)-F(a) $$
For funktionen f(x) = 2x vil dermed gælde:
$$ \int_{0}^{4} f(x) dx = \int_{0}^{4} 2x dx = [x^2]_{0}^{4} = 4^2-0^2 = 16 $$
Hvis slutpunktet for det bestemte integral er en variabel x vil det ubestemte integral være en funktion, frem for en talværdi:
$$ \int_{0}^{x} f(x) dx = \int_{0}^{x} 2x dx = [x^2]_{0}^{x} = x^2-0^2 = x^2 $$
Hvis start- og/eller slutværdien for et bestemt integral er uendeligt (∞) eller minus uendeligt (–∞), kaldes det et uegentligt integral.
Opsamling
Dette modul har givet en introduktion til bestemte integraler. Modulet har givet en forståelse for følgende:
- Definition af bestemte integraler
- Notation for bestemte integraler
- Regneregler for bestemte integraler