- 999 (Registered)
-
(0 Reviews)
Normalfordelingsapproksimationer
Indledning
Baggrunden for interessen for normalfordelingen skyldes den matematiske regel kendt som den centrale grænseværdisætningen. Kort sagt fortæller den, at alle middelværdier kan beskrives med en normalfordeling. Dette har stor betydning pga. den store interesse der generelt er for middelværdier og det forklarer, hvorfor mange variabler er normalfordelt. I dette modul vil blive introduceret den centrale grænseværdisætning sammen med nogle anvendelser. Overskrifterne for modulet er følgende:
- Den centrale grænseværdisætning
- Normalfordelingsapproksimationen for en binomialfordeling
Den centrale grænseværdisætning
En fair 6-sidet terning har samme sandsynlighed for at slå hvert af tallene fra 1 til 6 (symmetrisk sandsynlighedsfordeling). Hvis man gentager et terningekast mange gange vil gennemsnittet af kastene give en ny stokastisk variabel, der modsat de individuelle kast er klokkeformet (se Figur 1). Faktisk gør det sig gældende, at hvis gennemsnittet tages af et tilstrækkeligt stort antal kast vil det være normalfordelt.
At gennemsnittet er normalfordelt er en konsekvens af den matematisk regel kendt som den centrale grænseværdisætning.
Den centrale grænseværdisætning
Lad X1, X2, … Xn være n uafhængige stokastiske variabler. Gennemsnittet og summen vil da være givet som:
$$ \overline{X} = \frac{X_1+X_2+…+X_n}{n} $$
$$ \sum{X_i} = X_1+X_2+…+X_n $$
Hvis n er stor vil middelværdien og summen af de n stokastiske variabler med god tilnærmelse være normalfordelt:
$$ \overline{X} \sim N(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{n} }) $$
$$ \sum{X_i} \sim N(n \cdot \mu, \sigma) $$
hvor μ og σ henholdsvis er forventningsværdien og spredningen af de n stokastiske variabler.
ØVELSE: DEN CENTRALE GRÆNSEVÆRDISÆTNING
Normalfordelingsapproksimation af en binomialfordeling
Den stokastiske variabel ved en binomialfordelingen er karakteriseret ved at være antallet af successeer ved n uafhængige eksperimenter, hvor hvert eksperiment har en succes rate p. Den faktiske andel af successeer ved n eksperimenter kan fortolkes som den gennemsnitlige antal successeer ved et eksperiment. Dermed forudsiger den centrale grænseværdisætning, at antallet og andelen af successeer tilnærmelsesvist kan beskrives med en normalfordeling.
ØVELSE: NORMALFORDELINGAPPROKSIMATIONEN AF EN BINOMIALFORDELING
Opsamling
I dette modul er blevet beskrevet, hvordan et gennemsnit kan beskrives med en normalfordeling. Du har nu fået en forståelse for:
- Den centrale grænseværdisætning
- Normalfordelingsapproksimationen ved en binomialfordeling
TEST: NORMALFORDELINGSAPPROKSIMATIONER