- 999 (Registered)
-
(0 Reviews)
Introduktion til vektorfunktioner
Indledning
Almindelige funktioner af én variabel er karakteriseret ved, at der for én værdi af den uafhængige variabel (x) findes én værdi af den afhængige variabel (y). Dette kan beskrives grafisk med punkter (x,y) i en plan, hvor en lodret linje kun skærer grafen ét stod. Vektorfunktioner er karakteriseret ved at både x– og y-koordinaten er funktioner af den samme uafhængige variabel (t). Siden y ikke er en funktion af x kan der godt findes flere y-værdier for én x-værdi (en lodret linje kan skærer grafen flere steder). Overskrifterne for dette modul er følgende:
- Vektorfunktioner
- Vektorfunktion for en cirkel
Vektorfunktioner
En vektorfunktion kan ses som to funktioner af én variabel. Dette skrives som vektorkoordinater, hvor både x– og y-koordinaten afhænger af variablen t. Man siger at én værdi af t afbildes i ét koordinatsæt (x,y).
Vektorfunktion
Ved en vektorfunktion r forstås en afbildning af en uafhængig variabel t i et interval I i vektorkoordinater med koordinaterne x(t) og y(t):
$$ \overrightarrow{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}, \ t∈I $$
x(t) og y(t) er reelle funktioner, der kaldes vektorfunktionens koordinatfunktioner.
Eksempler på vektorfunktioner er parameterfremstilling af linjer. For eksempel kan den rette linje med forskriften f(x)=2x+5 skrives som vektorfunktionen/parameterfremstillingen:
$$ \overrightarrow{r}(t) = \begin{pmatrix} t \\ 2t+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$
Grafen for en vektorfunktion r kaldes banekurven for r. Dette kommer fra fysikkens verden da vektorfunktioner har stor anvendelse i beskrivelse af bevægelsen af fysiske objekter (f.eks. banen af en planet). Siden både x og y er afhængige variabler af en fælles uafhængig variabel behøves banekurver ikke at overholde lodret kriteriet (at en lodret linje kun skærer grafen et sted). På figuren ses den hjerteformede graf for en vektorfunktion med koordinatfunktionerne x(t)=sin(t) og y(t)=|t|cos(|t|). Denne kan ikke være grafen for en funktion af x da to y-værdier godt kan svarer til samme x-værdi.
Vektorfunktion for cirkel
Cirkler i et koordinatsystem er eksempler på geometriske figurer som ikke kan være grafen for en almindelig funktion, da samme x-værdi godt kan svare til to forskellige y-værdier (opfylder ikke lodret kriteriet). Vil man opskrive en ligning for en cirkel er det derfor oplagt at skrive den som en vektorfunktion.
Cirklens parameterfremstilling
En cirkel med radius på r og centrum i (x0,y0) har parameterfremstillingen:
$$ \overrightarrow{s}(t) = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} cos(t) \\ sin(t) \end{pmatrix} $$
eller
$$ \overrightarrow{s}(t) = \begin{pmatrix} x_0 + r \cdot cos(t) \\ y_0 + r \cdot sin(t) \end{pmatrix} $$
For eksempel vil cirklen med radius på 5 og centrum i (3,4) have parameterfremstillingen:
$$ \overrightarrow{s}(t) = \begin{pmatrix} 3 + 5 \cdot cos(t) \\ 4 + 5 \cdot sin(t) \end{pmatrix} $$
ØVELSE: CIRKLENS PARAMETERFREMSTILLING
Opsamling
I dette modul er blevet introduceret vektorfunktioner. Du har nu opnået en forståelse for følgende:
- En vektorfunktion kan beskrives som to funktioner (x(t) og y(t)) af én fælles variabel (t)
- Grafen for en vektor kaldes en banekurve og behøver ikke at overholde lodret kriteriet (én x værdi kan godt have to forskellige y-værdier)
- Vektorfunktion med en cirkel som banekurve (cirklens parameterfremstilling)
TEST: INTRODUKTION TIL VEKTORFUNKTIONER