- 999 (Registered)
-
(0 Reviews)
Kurver og flader i rummet
Indledning
En funktion af to variabler vil typisk kunne illustreres med en flade i et 3-deminsionelt rum. I dette modul vil blive beskrevet, hvordan grafer for funktioner af to variabler tegnes. Dels som en flade i et 3-dimensionelt koordinatsystem med en x-, y– og z-akse, og dels som kurver svarende til bestemte værdier af funktionsværdien (z) eller som bestemte værdier af en uafhængige variabel (x eller y). Overskrifterne for modulet er:
- Flader i rummet
- Niveaukurver og konturplot
- Snitfunktioner
Flader i rummet
En funktion f af to variabler er karakteriseret ved, at der for et tal-par (x,y) er én funktionsværdi z. Dette kan beskrives som et punkt i rummet med koordinatsættet (x,y,z), hvor z = f(x,y). Grafen for en funktion af to variabler svarer til punktmængden af alle punkter af denne art. Når de uafhængige variabler kan antage alle værdier og funktionen er kontinuer (sammenhængende) vil grafen være en flade i rummet. Lineære funktioner af to variabler (z = ax + bx + c) vil f.eks. altid danne en plan flade i rummet. I figuren er vist den parabolformede graf for funktionen z = x2 + y2.
Niveaukurver og konturplot
Selvom det fysiske rum er 3-dimensionelt, opfatter man kun verden i 2 dimensioner. Figur 1 skal forestille en 3-dimensionel graf, men siden der er tale om et billede, er illustrationen kun i to dimensioner. Dette gør det svært at aflæse sammenhængen mellem x, y og z præcist. Derfor benytter man ofte 2-dimensionelle repræsentationer af grafen for en funktion af to variabler, hvor sammenhængen mellem to af variabler præcist kan aflæses (f.eks. sammenhængen mellem x og y). En ofte anvendt måde at beskrive sammenhængen mellem de uafhængige variabler (x og y) og den afhængige variabel (z) grafisk er vha. af niveaukurver, der beskriver sammenhængen mellem de uafhængige variabler for en given værdi af funktionen.
Niveaukurve
Lad k være et tal i værdimængden for en funktion f. Da kaldes punktmængden af alle (x,y), der opfylder f(x,y)=k, niveaukurven hørende til værdien k.
En god og overskuelig repræsentation af en funktion af to variabler kan skabes ved angive flere niveaukurver i det samme koordinatsystem. Dette kaldes et niveaukurvediagram eller konturplot. Funktionsværdien svarende til en given niveaukurve angives med et tal ved kurven. Figur 2 viser et konturplot for funktionen f(x,y) = x2 + y2.
Snitfunktioner
Kurver der angiver sammenhængen mellem funktionsværdien og én af de uafhængige variabler svarer til et lodret snit gennem den 3-dimensionelle graf for funktionen af to variabler (parallelt med x-aksen eller y-aksen). Dette svarer til at x– eller y-værdien holdes konstant og de resulterende funktioner kaldes snitfunktioner.
Snitfunktioner
Lad f være en funktion af to variabler, med de uafhængige variabler x og y. Lad x0 og y0 være talværdier, hvor (x0,y0) er inden for definitionsmængden. Da kaldes følgende funktioner for snitfunktioner for f:
$$ g(x)=f(x,y_0) $$
$$ h(y)=f(x_0,y) $$
For funktionen f(x,y)=x2+y2 vil snitfunktionen svarende til y=0 være givet som:
$$ g(x)=f(x,0)=x^2+0^2 = x^2 $$
Snitfunktionen svarende til x = 2 vil tilsvarende være givet som:
$$ h(y)=f(2,y)=2^2+y^2 = y^2+4 $$
På figur 3 er vist grafen for de to snitfunktioner.
Opsamling
Dette modul har beskrevet, hvordan funktioner af to variabler kan beskrives grafisk. Du har nu opnået en forståelse for følgende:
- Et punkt på grafen for en funktion af to variabler har tre koordinator (x,y,z). Grafen vil typisk være en plan i det 3-dimensionelle rum.
- En niveaukurve angiver sammenhængen mellem de uafhængige variabler (x og y) svarende til en bestemt funktionsværdi (z = k). Et konturplot er en måde at lave en 2-dimensionel repræsentation af funktionens 3-dimensionelle graf.
- En snitfunktion angiver sammenhængen mellem én af de uafhængige variabler (x eller y) og funktionsværdien (z) for en konstant værdi af den anden uafhængige variabel.
TEST: KURVER OG FLADER I RUMMET