Funktionsanalyse

Indledning

Dette modul omhandler funktionsanalyse, hvor differentialregning kommer i brug. Her vil blive gennemgået følgende:

Funktionsanalyse vha. differentialregning
Fortegnsanalyse og nulpunkter
Monotoniforhold og ekstrema
Krumningsforhold og vendetangent

Funktionsanalyse

Fortegnsanalyse og nulpunkter

Bestemmelse af fortegnsvariationen og nulpunkter for en funktion er et væsentligt trin i funktionsanalyse. Ved en økonomisk overskudsfunktion vil fortegnsvariationen svarer til de værdier af x (antal solgte varer), hvor man vil have et overskud eller underskud. Nulpunkterne vil være der, hvor overskuddet er nul. Proceduren for bestemmelse af fortegnsvariationen er følgende:

Fortegnsanalyse

Fortegnsanalyse for en funktion $f$ udføres på følgende vis:

Bestem nulpunkter; dvs. løs ligningen $f(x) = 0$

Bestem fortegnet af funktionen for værdier af $x$ mellem nulpunkterne. Det er nok at teste for tilfældigt valgt værdi af $x$ i hvert interval mellem nulpunkterne.

Som eksempel kan man lave fortegnsanalyse for funktionen:

$$ f(x)=x^2-1 $$

Trin 1: Bestem nulpunkter

$$ x^2 – 1 = 0 $$

$$ x^2 = 1 $$

$$ x = \pm \sqrt{1} = \pm 1 $$

Trin 2: Bestemmer fortegnet for tilfældigt valgt værdi af x i intervaller mellem nulpunkter

$$ f(-2) = (-2)^2 – 1 = 3 > 0 $$

$$ f(0) = 0^2-1 = -1 < 0 $$

$$ f(2) = 2^2 -1 = 3 > 0 $$

Dermed kan man konkluderer:

$f(x)$ er positiv for $x$ ∈ ]–∞;-1[

$f(x)$ er negativ for $x$ ∈ ]–1;1[

$f(x)$ er positiv for $x$ ∈ ]1;∞[

ØVELSE: FORTEGNSANALYSE

Monotoniforhold og ekstrema

Et trin ved funktionsanalyse som er afhængig af differentielregning er bestemmelse af monotoniforhold og ekstrema (maksima eller minima). For en funktion som giver et økonomisk nøgletal som funktion af tiden, vil monotoniforhold beskrive i hvilke intervaller, der er økonomisk vækst, og i hvilke intervaller der er negativ vækst. Ekstrema vil være der, hvor der er et skifte mellem vækst og fald. Proceduren for bestemmelse af monotoniforhold og ekstrema vha. af differentialregning er følgende:

Bestemmelse af monotoniforhold og ekstrema

Monotoniforhold og ekstrema for en funktion $f$ bestemmes på følgende vis:

Bestemmer punkter, hvor væksten af funktionen er $0$; dvs. løs ligningen $f'(x) = 0$

Bestemmer om funktionen er voksende eller aftagende i intervaller mellem punkter, hvor væksten er $0$. Det er nok at teste for tilfældigt valgt værdi af $x$ i hvert interval.

Som eksempel kan man bestemme monotoniforhold og ekstrema for funktionen:

$$ f(x)=x^2-1 $$

Det første man gør er at bestemme den første afledede af funktionen:

$$ f'(x) = 2x $$

Trin 1: Bestemmer punkter med ingen vækst

$$ 2x = 0 $$

$$ x = 0 $$

Trin 2: Bestemmer om funktion er voksende eller aftagende i intervaller

$$ f'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2 $$

$$ f'(1) = 2 \cdot 1 = 2 $$

Dermed kan man konkluderer at:

$f$ er aftagende i intervallet ]-∞;0[

$f$ er voksende i intervallet ]0;∞[

Der er et minimum for $x$ lig med $0$, da funktionen går fra aftagende til voksende ($f(0) = 0^2–1 = –1$). Det kan dermed konkluderes:

$(0,–1)$ er et minimumspunkt.

ØVELSE: BESTEMMELSE AF MONOTONIFORHOLD OG EKSTREMA

Krumningsforhold og vendepunkt

Hvor meget og hvordan grafen for en funktion f krummer (“bøjer”) kan bestemmes ud fra den anden afledede til funktionen ($f^{\prime \prime}$). Hvis den anden afledede til funktionen er positiv taler man om positiv krumning (krummer opad – konveks graf), og hvis den anden afledede er negativ tale man om negativ krumning (krummer nedad – konkav graf). Proceduren til at bestemme krumningsforhold for en funktion er følgende:

Bestemmelse af krumningsforhold og vendepunkter

Krumningsforhold og vendepunkter for en funktion $f$ bestemmes på følgende vis:

Bestemmer punkter, hvor krumningen af funktionen er $0$; dvs. løs ligningen $f^{\prime \prime}(x) = 0$

Bestemmer om funktionen har positiv eller negativ krumning i intervallerne mellem punkterne, hvor krumningen er $0$. Det er nok at teste for tilfældigt valgt værdi af $x$ i hvert interval.

Som eksempel kan man bestemme krumningsforhold og vendepunkter for funktionen

$$ f(x)=x^3 + x^2-1 $$

Det første man gør er at bestemme den anden afledede af funktionen:

$$ f'(x) = 3x^2+2x $$

$$ f^{\prime \prime}(x) = 6x + 2 $$

Trin 1: Bestemmer punkter med ingen krumningen

$$ 6x+2 = 0 $$

$$ 6x = -2 $$

$$ x = -0,3333 $$

Trin 2: Bestemmer om funktionen har positiv eller negativ krumning i intervaller

$$ f^{\prime \prime}(-1) = 6 \cdot (-1) + 2 = -4 $$

$$ f^{\prime \prime}(0) = 6 \cdot (0) + 2 = 2 $$

Dermed kan man konkluderer:

$f$ er konkav i intervallet ]–∞;–0.3333[

$f$ er konveks i intervallet ]–0.3333;∞[

Der er et vendepunkt for $x$ lig med –0,3333, da funktionen ændrer krumning her ($f(–0{,}3333) = (–0{,}3333)^3+ (–0{,}3333)^2–1 = –0{,}9259$). Det kan dermed konkluderes:

$(–0.3333;–0.9259)$ er et vendepunkt for funktionen.

ØVELSE: BESTEMMELSE AF KRUMNINGSFORHOLD OG VENDEPUNKTER