- 999 (Registered)
-
(0 Reviews)
Afledede funktioner
Indledning
Dette modul omhandler afledede funktioner. Her vil blive beskrevet, hvad afledede funktioner er, samt omtalt de mest almindelige typer af afledede funktioner:
- Hvad er afledede funktioner?
- Udledning af afledede funktioner
- Mest almindelige afledede funktioner
- Regneregler for afledede funktioner
Afledede funktioner
Hvad er afledede funktioner?
Som sagt angiver differentialkvotienten til en funktion $f(x)$ hældningen af tangenten til grafen for funktionen for en bestemt værdi af den uafhængige variable $x$. Ved at bestemme differentialkvotienten for alle værdier af den uafhængige variable får man en ny funktion $f'(x)$. Denne funktion kaldes den afledede funktion. Ofte er det muligt at udlede forskriften for den afledede funktion $f'(x)$. For eksempel vil der gælde følgende for polynomiet $f(x) = x^2$:
$$ f(x)=x^2 \Rightarrow f'(x)=2x $$
For lineære funktioner gælder generelt:
$$ f(x) = ax+b \Rightarrow f'(x) = a $$
Følgende tabel viser en oversigt over den afledede af forskellige funktionstyper:
\begin{array} {|r|r|}\hline f(x) & f'(x) \\ \hline ax+b & a \\ \hline x^2 & 2x \\ \hline x^n & nx^{n-1} \\ \hline e^x & e^x \\ \hline a^x & ln(a) \cdot a^x \\ \hline ln(x) & 1/x \\ \hline cos(x) & sin(x) \\ \hline sin(x) & -cos(x) \\ \hline tan(x) & 1+tan^2(x) \\ \hline \end{array}
Bevis for, at $\mathbf{(ax + b)’ = a}$
Følgende viser, hvordan man ved brug af definitionen af differentialkoefficienten kan udlede den afledede af en lineær funktion:
$$ f(x) = ax+b $$
$$ f'(x) = lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{a(x+\Delta x)+b-(ax+b)}{\Delta x} $$
$$ =lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{ax+a\Delta x+b-ax-b}{\Delta x}=lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{a\Delta x}{\Delta x}=lim_{\Delta x \rightarrow 0}(a) = a $$
Dermed er den afledede af en lineær funktion givet ved:
$$ f'(x)= a $$
Som skulle vises.
ØVELSE: AFLEDEDE AF LINEÆRE FUNKTIONER
Bevis for, at $\mathbf{(x^2)’ = 2x}$
Følgende viser, hvordan man ved brug af 3-trinsreglen kan udlede den afledede af funktionen:
$$ f(x) = x^2 $$
Trin 1: Reducer tælleren i differenskvotienten
$$ f'(x) = lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} $$
$$ =lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{x^2+\Delta x^2+2x \Delta x – x^2}{\Delta x}=lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta x^2+2x \Delta x}{\Delta x} $$
Trin 2: Divider tælleren med $Δx$
$$ f'(x) =lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta x^2+2x \Delta x}{\Delta x} = lim_{\Delta x \rightarrow 0}(\Delta x + 2x) $$
Trin 3: Lad $Δx$ gå mod $0$
$$ f'(x) = lim_{\Delta x \rightarrow 0}(\Delta x + 2x) = 2x $$
Dermed er den afledede funktion givet ved:
$$ f'(x)= 2x $$
Som skulle vises.
Regneregler for afledede funktioner
Afledede af funktion ganget med konstant
Der gælder følgende regneregel for differentiation af en funktion $f(x)$ ganget med en konstant $k$:
$$ (k \cdot f(x))’ = k \cdot f'(x) $$
Denne regel udvider antallet af funktioner, man kan differentiere betydeligt. Tag f.eks. funktionen $ln(x)$ ganget med en konstant:
$$ f(x) = 4 \cdot ln(x) $$
Man ved, at den afledede af $ln(x)$ er $1/x$. Derfor må der gælde:
$$ f'(x) = 4/x $$
ØVELSE: AFLEDEDE AF KONSTANT GANGET MED FUNKTION
Afledede af sum og differens af funktioner
Der gælder følgende regler, når den afledede af en sum eller en differens af to funktioner $f(x)$ og $g(x)$ skal bestemmes:
$$ (f(x)+g(x))’ = f'(x)+g'(x) $$
$$ (f(x)-g(x))’ = f'(x)-g'(x) $$
Disse regler gør det muligt at differentiere funktioner, hvor forskriften består af flere led, hvor man kender den afledede af hvert led. Tag f.eks. følgende funktion:
$$ h(x) = x^5+e^x-ln(x) $$
Ved at bruge både reglen for differentiation af en sum og en differens giver den afledte af $h$ følgende:
$$ h'(x) = 5x^4 + e^x – 1/x $$
ØVELSE: AFLEDEDE AF SUM OG DIFFERENS AF FUNKTIONER
Afledede af produkt af funktioner
Til bestemmelse af den afledede af produktet af to funktioner kan følgende regneregel benyttes:
$$ (f(x)g(x))’ = f(x)g'(x) + f'(x)g(x) $$
Som eksempel kan man se på funktionen:
$$ h(x) = x^4 \cdot x^6 $$
Ved brug af reglen vil man få følgende:
$$ h'(x) = x^4 \cdot 6x^5 + 4x^3 \cdot x^6 = 6x^9 + 4x^9 = 10x^9 $$
ØVELSE: AFLEDEDE AF PRODUKT AF FUNKTIONER
Afledede af funktion divideret med funktion
Til at bestemme den afledede af en funktion divideret med en anden funktion kan følgende regneregel benyttes:
$$ (\frac{f(x)}{g(x)})’ = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2} $$
Som eksempel kan man bestemme den afledede til funktionen:
$$ h(x) = \frac{e^x}{ln(x)} $$
Ved brug af regnereglen fås følgende:
$$ h'(x) = \frac{(e^x)’ \cdot ln(x)-e^x \cdot (ln(x))’}{ln(x)^2} = \frac{e^x \cdot ln(x) – e^x \cdot 1/x}{ln(x)^2} $$
ØVELSE: AFLEDEDE AF FUNKTION DIVIDERET MED FUNKTION
Opsamling
Dette modul har givet en introduktion til afledede funktioner. Modulet har givet en forståelse for følgende:
- Definition af afledede funktioner
- Udledning af afledede funktioner og anvendelse af 3-trinsreglen
- Oversigt over den afledede af de mest almindelige typer af funktioner
- Regneregler ved udledning af afledede funktioner