Systemer af lineære uligheder

I arbejdet med lineær programmering spiller begrænsninger en central rolle. Begrænsninger beskriver de betingelser, som en løsning skal opfylde, for at den er mulig i praksis. Det kan f.eks. være begrænsninger på tid, kapacitet eller materialeforbrug.

I dette modul arbejdes der med, hvordan sådanne begrænsninger kan beskrives matematisk ved hjælp af lineære uligheder, og hvordan flere begrænsninger tilsammen danner et område i et koordinatsystem med de tilladte løsninger (polygonområde). Dette løsningsområde vil senere danne grundlag for selve optimeringen.

Lineære uligheder

En lineær ulighed minder om en lineær ligning, men i stedet for lighedstegnet anvendes et ulighedstegn:

\[
\le, \quad <, \quad \ge, \quad >
\]

En lineær ulighed med to variable kan fx skrives som:

$$
2x + y \le 10
$$

Uligheden beskriver ikke én bestemt linje, men et område i koordinatsystemet med de tal-par af $x$ og $y$ der opfylder uligheden. Grænselinjen fås ved at erstatte ulighedstegnet med et lighedstegn:

\[
2x + y = 10
\]

Denne linje opdeler planen i to halvplaner, hvoraf det ene opfylder uligheden.

Grafisk løsning af en lineær ulighed

For at afgøre hvilket område der opfylder uligheden, kan man trinvis:

1. Starte med at tegne grænselinjen
2. Dernæst vælge et testpunkt (f.eks. $(0,0)$)
3. Til sidst indsætte punktet i uligheden

Hvis testpunktet opfylder uligheden, vil den halvplan som punktet tilhører være løsningsområdet.

Systemer af lineære uligheder

I praksis vil der ofte være flere begrænsninger på samme tid. Et system af lineære uligheder består af flere uligheder, som alle skal være opfyldt samtidigt.

Eksempel: Et eksempel på et system af uligheder er følgende:

$$
\begin{align}
2x + y \le 10 \\\
x + 2y \le 12 \\\
x \ge 0 \quad og \quad y \ge 0
\end{align}
$$

Hver ulighed afgrænser et område i koordinatsystemet. Det samlede løsningsområde er der, hvor alle uligheder er opfyldt samtidigt.

Polygonområdet (løsningsområdet)

Når man tegner et system af lineære uligheder grafisk, vil det fælles løsningsområde være et polygon, dvs. et område afgrænset af rette linjer. Dette område kaldes derfor polygonområdet.

Hjørnerne i polygonområdet fremkommer som skæringspunkter mellem grænselinjerne. Disse hjørner spiller en central rolle i lineær programmering, da det ofte viser sig, at optimale løsninger findes netop her.

Ikke-negative betingelser

I de fleste praktiske tilfæde giver det kun mening at arbejde med ikke-negative variabler. Man kan f.eks. ikke producere et negativt antal varer.

Derfor indgår uligheder som

\[
x \ge 0 \quad \text{og} \quad y \ge 0
\]

som regel som en del af begrænsningerne.

Opsamling

Dette modul har givet en introduktion til systemer af lineære uligheder og deres grafiske fortolkning. Du kan nu:

• Forklare, hvad en lineær ulighed er
• Løse lineære uligheder grafisk
• Opstille og tegne et system af lineære uligheder
• Bestemme det fælles løsningsområde (polygonområdet)
• Forklare betydningen af begrænsninger i forbindelse med lineær programmering

Opgaver

OPGAVE: Systemer af lineære uligheder