Harmoniske svingninger

Indledning

I dette modul vil blive beskrevet karakteristiske egenskaber ved trigonometriske funktioner, samt deres grafiske forløb. Overskrifterne er:

Radianer og enhedscirklen
Harmoniske svingninger

Radianer og enhedscirklen

De trigonometriske funktioner er defineret ud fra enhedscirklen og retningspunktet (se Figur 1). Enhedscirklen er den cirkel, der har centrum i $(0,0)$, og har en radius på $1$. For eksempel er cosinus til en vinkel defineret som $x$-koordinaten for retningspunktet på enhedscirklen med vinklen som retningsvinkel. Sinus er tilsvarende defineret som $y$-koordinaten for retningspunktet. Sædvanligvis angives vinkler i enheden grader (º), som er defineret således, at 360º svarer til, at retningspunktet er gået hele vejen rundt på enhedscirklen. Enhedscirklen giver anledning til et andet mål for vinkler, der kaldes radianer. Størrelsen af en vinkel i radianer er længden af det buestykke, der udspændes mellem $(1,0)$ og retningspunktet for vinklen. Omkredsen af enhedscirklen er $2π$, hvilket giver følgende sammenhænge mellem grader og radianer:

$$ 360^\circ=2\pi \ radianer $$

Det vil sige, at 1º svarer til $2π/360$ radianer ($0{,}01745$ radianer).

Radianer og grader — **Figur 1:** Illustration af sammenhængen mellem størrelsen af en vinkel målt i grader og i radianer (buelængde). P angiver retningspunktet for vinklen.

I det følgende vil blive beskrevet, hvordan trigonometriske funktioner kan bruges til at beskrive en sammenhæng mellem to variabler (harmoniske svingninger). Her er der tradition for at angive værdien af den uafhængige variabel ($x$) i radianer frem for i grader. Følgende viser en figur af $cos(x)$ og $sin(x)$, hvor $x$ angives i radianer. Bemærk, at begge funktioner har samme funktionsværdi, når man går $2π$ hen af $x$-aksen.

ØVELSE: RADIANER OG GRADER

Harmoniske svingninger

En harmonisk svingning er en funktion hvis udvikling gentager sig efter efter en given periode. Sinus er et godt eksempel på dette, da $sin(x)$ gentager sin udvikling, når $x$ er steget $2π$ (målt i radianer). Harmoniske svingninger bliver anvendt bredt til at beskrive fænomener, der over tid gentager sin udvikling (f.eks. vejret, temperaturen over et døgn, eller hvor mange is der bliver solgt på en given dag i løbet af året). Generelt er harmoniske svingninger defineret som:

Harmoniske svingninger

En funktion siges at være en harmonisk svingning, hvis forskriften for funktion kan beskrives som:

$$ f(x)=a \cdot sin(bx+c) + d, \ \ \ a, b > 0 $$

$sin(x)$ er et simpelt eksempel på en harmonisk svingning ($a = 1$, $b = 1$, $c = 0$ og $d = 0$). Ligeledes er $cos(x)$ en harmonisk svingning ($cos(x) = sin(x –π/2)$). I det følgende vil blive beskrevet, hvilken betydning de forskellige konstanter i forskriften for en harmonisk svingning har for udseendet af grafen for en harmonisk svingning.

ØVELSE: HARMONISKE SVINGNINGER

Amplitude ($a$)

Konstanten $a$ i forskriften for en harmonisk svingning kaldes amplituden, og angiver størrelsen af udsvinget for den harmoniske svingning. Som eksempel kan man se, at udsvinget af følgende harmoniske svingning er $3$:

$$ f(x)=3sin(x) $$

Hvis en harmonisk svingning beskriver en bølge vil amplituden svarer til det halve af bølgehøjden.

ØVELSE: AMPLITUDE AF HARMONISK SVINGNING

Vinkelfrekvensen ($b$)

Konstanten $b$ kaldes vinkelfrekvensen og har betydning for, hvor meget $x$ skal stige før udviklingen gentager sig. Hvor meget $x$ skal stige før udviklingen gentager sig kaldes periodetiden og kan beregnes ud fra $b$:

Periodetid og frekvens

Lad $b$ angive vinkelfrekvensen for en harmonisk svingning ($f(x) = a·sin(bx + c) + d$). Da kan periodetiden $T$ bestemmes ud fra formlen:

$$ T = \frac{2\pi}{b} $$

Frekvensen $f$ for den harmoniske svingning er defineret som $1/T$ og kan bestemmes med formlen:

$$ f = \frac{b}{2\pi} $$

Navnet periodetid kommer af, at harmoniske svingninger ofte beskriver tidsafhængige fænomener. Hvis en harmonisk svingning f.eks. beskriver svingningen af et pendul, vil periodetiden beskrive, hvor lang tid det tager for pendulet at lave en svingning, og frekvensen angiver antallet af svingninger per tidsenhed.

Følgende harmoniske svingning har en vinkelfrekvens på $2$:

$$ g(x)=sin(2x) $$

Ud fra vinkelfrekvensen kan periodetiden og frekvensen bestemmes:

$$ T = \frac{2\pi}{2} = \pi $$

$$ f = \frac{2}{2\pi} = 0,3183 $$

ØVELSE: VINKELFREKVENS AF HARMONISK SVINGNING

Parallelforskydning ($c$ og $d$)

Konstanterne $c$ og $d$ har ikke nogen betydning for formen af grafen for en harmonisk svingning, men afgør, hvor i koordinatsystemet grafen er placeret. Ændres $d$ for en harmonisk svingning resulterer det i en lodret parallelforskydning af grafen. Ændres $c$ resulterer det i en vandret parallelforskydning af grafen. Følgende tre harmoniske svingninger har den samme form af deres graf, men har forskellig placering i koordinatsystemet:

$$ f(x) = sin(x) $$

$$ g(x) = sin(x) + 1 $$

$$ h(x) = sin(x + \frac{\pi}{2}) $$