Introduktion til sandsynlighedsregning

Indledning

Hvor beskrivende statistik omhandler behandling af datasæt, man allerede har indsamlet, handler sandsynlighedsregning om at forudsige, hvilke værdier et datasæt vil have, før man indsamler data. Med andre ord kan man sige, at statistik handler om at beskrive fortiden, mens sandsynlighedsregning handler om at forudsige fremtiden. I dette modul vil blive behandlet, hvordan statistik og kombinatorik kan bruges til at forudsige sandsynligheden for en hændelse. Her vil blive introduceret det mest grundlæggende inden for emnet sandsynlighedsregning:

• Hvad er sandsynlighed?
• Udfaldsrum, sandsynlighedsfordeling og sandsynlighedsfelt
• Symmetrisk sandsynlighedsfelt

Sandsynlighed

Hvad er sandsynlighed?

Sandsynlighedsregning handler om at forudsige udfaldet af et eksperiment (f.eks. hvilket tal man får, når man slår med en terning). Sandsynligheden for en bestemt værdi er den forudsagte andel af alle udfald ved eksperimentet, der vil have den pågældende værdi, hvis eksperimentet gentages (f.eks. andelen af 1’ere ved et terningekast). Der er tre forskellige måder at bestemme sandsynligheden for et udfald på. (1) Kombinatorisk sandsynlighed beregnes ud fra kendskab til antallet af mulige udfald. For eksempel, kan man bestemme sandsynligheden for at få plat med en mønt til 50%, fordi man ved, at der er to mulige udfald. (2) Statistisk sandsynlighed beregnes ud fra et observationssæt. Dette kan gøres ved et eksperiment, hvor man forventer samme sandsynlighed for udfaldene, hver gang eksperimentet gentages. Sandsynligheden bestemmes ved at gentage eksperimentet et stort antal gange. Frekvensfordelingen for de forskellige værdier i observationssættet svarer til sandsynligheden for de forskellige udfald. (3) Subjektiv sandsynlighed afspejler en personlige vurdering af, hvor sandsynligt et givent udfald er. Denne sandsynlighed vil være mere retvisende desto bedre erfaringsgrundlag, den pågældende person har for at kunne forudsige udfaldet af begivenheden. For eksempel, vil en erfaren aktieanalytiker have gode forudsætninger for at vurdere sandsynligheden for om en bestemt aktie stiger eller falder, og en meteorolog vil have gode forudsætninger for at vurdere sandsynligheden for, at det bliver regnvejr i næste uge.

ØVELSE: SANDSYNLIGHEDSBEGREBER

Stokastiske variabler

Stokastiske variabler er talværdier, der fremkommer ved et eksperiment, og som er tilfældige (kan ikke forudsiges). Dette er i modsætning til de variabler, man almindeligvis arbejder med inden for funktionsteori, der siges at være deterministiske (den afhængige variabel y vil altid være det samme for en bestemt værdi af den uafhængige variabel x). Et eksempel på en stokastisk variabel er skostørrelsen på en tilfældig udvalgt gymnasieelev. Man kan på forhånd sige, at der er en vis sandsynlighed for at en bestemt skostørrelse udtages, men man kan ikke med sikkerhed forudsige hvilken skostørrelse.

ØVELSE: STOKASTISK VARIABEL

Sandsynlighedsfelt

To grundlæggende begreber inden for sandsynlighedsteori er udfaldsrum og sandsynlighedsfunktion. Udfaldsrummet er mængden af mulige udfald. Ved et terningkast vil udfaldsrummet være tallene fra 1 til 6. Sandsynlighedsfunktionen er sandsynligheden for de enkelte udfald. Ved en terning vil sandsynligheden være 1/6 for alle tal (hvis terningen er fair). Tilsammen udgør udfaldsrummet og sandsynlighedsfunktionen et sandsynlighedsfelt:

Sandsynlighedsfelt

Et sandsynlighedsfelt (U, P) består af et udfaldsrum U og en sandsynlighedsfunktion P.

• Udfaldsrummet U angiver de mulige udfald ved et stokastisk forsøg:
  • U = {u₁, u₂, u₃, … }
• Sandsynlighedsfunktionen P er sandsynligheden for de enkelte udfald. Følgende vil altid være opfyldt:
  • Sandsynligheden for et udfald er altid mellem 0 og 1:
    • 0 ≤ P(u_i) ≤ 1
  • Summen af alle sandsynligheder er 1 (100%):
    • P(u₁) + P(u₂) + P(u₃) + … = 1

For eksemplet med en fair terning, vil sandsandlighedsfeltet (U, P) have følgende udfaldsrum og sandsynlighedsfordeling:

$$ U = \{1,2,3,4,5,6 \} $$

\begin{array} {|r|r|}\hline u \ (antal \ øjne) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline P(u) & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\ \hline \end{array}

ØVELSE: SANDSYNLIGHEDSFELT

Symmetrisk sandsynlighedsfelt

Et sandsynlighedsfelt, hvor sandsynligheden er den samme for alle udfald, kaldes symmetrisk:

Symmetrisk sandsynlighedsfelt

Et sandsynlighedsfelt (U, P) kaldes symmetrisk, hvis der er samme sandsynlighed for alle udfald. Sandsynligheden for et udfald u er givet som én divideret med antallet af elementer i U:

$$ P(X=u) = \frac{1}{|U|} $$

Notationen |U| betyder antallet af elementer i mængden U.

For en symmetrisk 6-sidet terning vil sandsynligheden være 1/6 for at slå 1; og sandsynligheden for at slå plat med en symmetrisk mønt vil være 1/2 (50%).

ØVELSE: SYMMETRISK SANDSYNLIGHEDSFELT

Opsamling

Dette modul har givet en introduktion til emnet sandsynlighedsregning. Modulet har givet en forståelse for følgende:

• Anvendelsesområde for sandsynlighedsregning
• Sandsynlighedsfelt
• Beregning af sandsynlighed for et udfald

TEST: INTRODUKTION TIL SANDSYNLIGHEDSREGNING

Eksterne links

• Statistiske sandsynlighed
• Stokastisk variabel
• Sandsynlighedsteori – Grundlæggende begreber
• Symmetrisk sandsynlighedsfelt