Linjens parameterfremstilling

Indledning

I dette modul vil blive introduceret linjens parameterfremstilling. Overskrifterne er:

• Parameterfremstilling for en ret linje
• Skæringspunkt mellem to linjer
• Vinkel mellem to linjer
• Afstand fra punkt til linje

Parameterfremstilling for en ret linje

Den almindelige skrivemåde for en lineær funktion er som ligningen $y=ax+b$, der direkte angiver en sammenhæng mellem x og y i et koordinatsystem. En anden måde at skrive en lineær funktion er med det, der kaldes en parameterfremstilling, hvor den rette linje som udgør grafen for den lineære funktion beskrives med en koordinatvektor. I den forbindelse benyttes begreberne stedvektor og retningsvektor.

Stedvektor

Lad et punkt P have koordinaterne $(s_1,s_2)$. Da er stedvektoren s til punktet defineret som, den vektor som har samme første og anden koordinat som punktet P:

$$ \overrightarrow{s} = \begin{pmatrix} s_1 \\  s_2 \end{pmatrix} $$

For punktet $(2,4)$ vil følgende være en stedvektor:

$$ \overrightarrow{s} = \begin{pmatrix} 2 \\  4 \end{pmatrix} $$

Retningsvektor

For en linje l kaldes enhver vektor r, der er parallel med linjen for en retningsvektor for linjen.

For en linje med en hældningskoefficient på $5$, vil y-værdien vokse med $5$, når x-værdien vokser med $1$. Derfor er følgende en retningsvektor for den pågældende linje:

$$ \overrightarrow{r} = \begin{pmatrix} 1 \\  5 \end{pmatrix} $$

Kender man et punkt på en ret linje, samt en retningsvektor for linjen, kan alle punkter på linjen beskrives med det, der kaldes linjens parameterfremstilling:

Linjens parameterfremstilling

En linje l går gennem punktet $P(x_0,y_0)$ og har retningsvektoren $ \mathbf{r} = \begin{pmatrix} r_1 \\  r_2 \end{pmatrix}$. Da vil linjens parameterfremstilling være givet ved:

$$ \begin{pmatrix} x \\  y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\  y_0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} r_1 \\  r_2 \end{pmatrix} $$

hvor parameteren t kan antage alle reelle tal.

Hvis en linje indeholder punktet $(2,4)$ og har $\begin{pmatrix} 1 \\  5 \end{pmatrix}$ som retningsvektor vil følgende være en parameterfremstilling for linjen:

$$ \begin{pmatrix} x \\  y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\  5 \end{pmatrix} $$

At en linje kan beskrives med linjens parameterfremstilling følger af, at det første led $ \begin{pmatrix} x_0 \\  y_0 \end{pmatrix}$ svarer til stedvektoren for et punkt på linjen, mens det variable led $t \cdot  \begin{pmatrix} r_1 \\  r_2 \end{pmatrix} $ svarer til alle retningsvektorer. Ethvert punkt på linjen kan konstrueres som summen af stedvektoren for et punkt på linjen og en retningsvektor for linjen.

ØVELSE: LINJENS PARAMETERFREMSTILLING

Skæringspunkt mellem to linjer

Når man kender parameterfremstillingerne for to linjer, kan skæringspunktet mellem de to linjer bestemmes ved at opstille to ligninger med to ubekendte. Som eksempel ser vi på linje l og m med følgende parameterfremstillinger:

$$ l: \begin{pmatrix} x \\  y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\  2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\  2 \end{pmatrix} $$

$$ m: \begin{pmatrix} x \\  y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\  3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\  1 \end{pmatrix} $$

Da skæringspunktet mellem l og m svarer til den værdi af s og t, hvor l og m har samme værdi af x og y, må der gælde:

$$ \begin{pmatrix} 0 \\  2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\  2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\  3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\  1 \end{pmatrix} $$

Dette er ækvivalent med følgende to ligninger med s og t som de ubekendte:

$$ 0 + s \cdot 1 = 0 + t \cdot 1  $$

$$ 2 + s \cdot 2 = 3 + t \cdot 1 $$

Ved at løse disse to ligninger med to ubekendte kan man finde en værdi af s og t svarende til skæringspunktet for de to linjer. Ved at reducere begge sider af lighedstegnet i første ligning opnås følgende simple sammenhæng mellem s og t:

$$ s = t $$

t kan altså erstattes med s i den anden ligning. Efterfølgende kan s bestemmes:

$$ 2 + s \cdot 2 = 3 + s \cdot 1 $$

$$ 2 + 2s = 3 + s $$

$$ s = 1 $$

Siden s = t må t have samme værdi som s:

$$ t = 1 $$

Ved indsættelse af de fundne værdier af s og t i parameterfremstillingerne for l og m opnås skæringspunktet:

$$ \begin{pmatrix} x \\  y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\  2 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\  2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\  4 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} x \\  y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\  3 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\  1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\  4 \end{pmatrix} $$

For begge parameterfremstillinger får man, at skæringspunktet mellem linjerne er $(1,4)$.

ØVELSE: BESTEMMELSE AF SKÆRINGSPUNKTET MELLEM TO LINJER

Vinkel mellem to linjer

Retningsvektorerne r₁ og r₂ for to linjer angiver retningerne af linjerne, og vinklen v mellem disse vektorer vil dermed også svarer til vinklen mellem linjerne. Sammenhængen mellem skalarproduktet af to vektorer og cosinus til vinklen mellem vektorerne kan dermed benyttes til at bestemme vinklen mellem de to linjer:

$$ cos(v) = \frac{\overrightarrow{r_1} \cdot \overrightarrow{r_2}}{|\overrightarrow{r_1}| \cdot |\overrightarrow{r_2}|} $$

Som eksempel kan man finde vinklen mellem linjerne l og m med følgende parameterfremstillinger:

$$ l: \begin{pmatrix} x \\  y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\  2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\  2 \end{pmatrix} $$

$$ m: \begin{pmatrix} x \\  y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\  3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\  1 \end{pmatrix} $$

Cosinus til vinklen v mellem linjerne kan bestemmes ud fra prikproduktet og længderne af linjernes retningsvektorer:

$$ cos(v) = \frac{\begin{pmatrix} 1 \\  2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\  1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2 + 2^2} \cdot \sqrt{1^2+1^2}} = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$$

Vinklen v kan herefter bestemmes:

$$ v = cos^{-1}(\frac{3}{\sqrt{10}}) = 18,43^\circ $$

Den anden vinkel mellem linjerne w kan bestemmes som 180º minus v:

$$ w = 180^\circ – 18,43^\circ = 161,57^\circ $$

Der er dermed en spids vinkel på 18,43º og en stump vinkel på 161,57º mellem de to linjer.

ØVELSE: BESTEMMELSE AF VINKLER MELLEM LINJER

Afstand fra punkt til linje

Følgende sætning kan benyttes til at bestemme den korteste afstand mellem en linje og et punkt:

Afstand fra punkt til linje

Et punkt $P$ har koordinaterne $(x_1,y_1)$ og linjen $l$ har ligning $ax + by + c = 0$. Da kan afstanden mellem punktet $P$ og linjen $l$ bestemmes med formlen:

$$ dist(P,l) = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$

Eksempel 1: Vi vil finde afstanden mellem punktet $(4,7)$ og linjen $y = 2x – 4$. Før formlen kan anvendes til at bestemme afstanden skal linjen omskrives til formen $ax + bx + c = 0$ ved at trække $y$ fra på begge sider af lighedstegnet:

$$ 2x-y-4 = 0  $$

Formlen kan nu benyttes til at bestemme afstanden $d$ mellem punktet og linjen:

$$ d = \frac{|2 \cdot 4 + (-1) \cdot 7 + (-4)|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = 1,3416 $$

Eksempel 2: Vi vil nu finde afstanden mellem punktet $(6,3)$ og linjen med parameterfremstillingen:

$$ \begin{pmatrix} x \\  y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\  1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\  4 \end{pmatrix} $$

For at omskrive parameterfremstillingen til formen $ax + bx + c = 0$ tages skalarproduktet med tværvektoren til retningsvektoren på begge sider af lighedstegnet:

$$ \begin{pmatrix} x \\  y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\  3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\  1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\  3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\  4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\  3 \end{pmatrix} $$

$$ -4x + 3y= \begin{pmatrix} 7 \\  1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\  3 \end{pmatrix} = 7 \cdot (-4) + 1 \cdot 3 =-25 $$

$$ -4x+3y+25=0 $$

Ud fra den omskrivningen af parameterfremstillingen og koordinaterne for punktet kan afstanden bestemmes vha. formlen:

$$ d = \frac{|-4 \cdot 6 + 3 \cdot 3 + 25|}{\sqrt{(-4)^2+3^2}} = 2 $$

ØVELSE: BESTEMMELSE AF AFSTAND MELLEM PUNKT OG LINJE

Opsamling

Dette modul har introduceret linjens parameterfremstilling, samt nogle eksempler på anvendelse af begrebet. Du har nu fået en forståelse for følgende:

• Hvad der menes med en parameterfremstilling for en ret linje
• Hvordan man bestemmer skæringspunktet mellem to rette linjer, når parameterfremstillingerne kendes
• Bestemmelse af vinklen mellem to linjer ud fra linjernes retningsvektorer
• Bestemmelse af afstanden fra et punkt til en linje

TEST: LINJENS PARAMETERFREMSTILLING

Opgaver

OPGAVE: Linjens parameterfremstilling

Eksterne links

• Parameterfremstilling – Hvad er det?
• Skæring mellem linjer ved parameterfremstilling
• Vinkel mellem 2 linjer
• Afstand fra punkt til linje