- 999 (Registered)
-
(0 Reviews)
Introduktion til differentialregning
Indledning
Dette modul introducerer differentialregning – den gren inden for matematik der omhandler vækst af funktioner. Her vil blive introduceret det mest grundlæggende inden for emnet differentialregning:
- Hvad er differentialregning?
- Grænseværdier
- Differenskvotient
- Differentialkvotient
Vækst af funktioner
Differentialkvotient – vækst af funktion i et punkt
Det er ofte mere interessant at kende til ændringen i en størrelsen end størrelsen selv. For eksempel inden for økonomi er de fleste nøglebegreber forbundet med vækst, som vækst i aktiekurserne eller vækst i beskæftigelsen. Differentialregning omhandler netop beregning af vækst og ændring i funktionsværdier.
Det centrale begreb inden for differentialregning er differentialkvotienten, som angiver væksten af en funktion i et punkt. Væksten i et punkt er det samme som hældningen af tangenten til grafen i punktet.
ØVELSE: INTRODUKTION TIL DIFFERENTIALREGNING
Differenskvotient – vækst af funktion i et interval
Som beskrevet er differentialkvotienten væksten i et punkt eller hældningen af tangenten i et punkt. Dette er ikke en klar definition, og det er ikke en beskrivelse, der gør det muligt at bestemme differentialkvotienten i praksis. Før en reel matematisk definition bliver introduceret, vil vi repeterer formlen til bestemmelse af hældningen til en lineær funktion, der går gennem to punkter:
Hældningen af en lineær funktion
Hældningen $a$ af en lineær funktion, der går gennem punktet $(x_0,y_0)$ og $(x_1,y_1)$, kan bestemmes med formlen
$$ a = \frac{y_1 – y_0}{x_1 – x_0} $$
For punkterne $(1,–6)$ og $(3,–2)$ vil hældningen af linjen, der går gennem punkterne kunne bestemmes ved at indsætte $x$-koordinater og $y$-koordinater i formlen:
$$ a = \frac{-2 – (-6)}{3 – 1} = 2 $$
Formlen kan bruges til at bestemme hældningen af en sekant til grafen for en funktion – en ret linje der går gennem to punkter på grafen. Hældningen af sekanten, der går gennem to punkter, kaldes også en differenskvotient:
Differenskvotient
Differenskvotienten for en funktion $f$ for to værdier af den uafhængige variable, $x_0$ og $x_1$, angiver hældningen af den sekant, der går gennem de to punkter på grafen, der har de to værdier som $x$-koordinat:
$$ a_{sekant} = \frac{f(x_1) – f(x_0)}{x_1 – x_0} = \frac{f(x_0+\Delta x) – f(x_0)}{\Delta x} $$
$Δx$ angiver ændringen i $x$-værdien for de to punkter, som sekanten går igennem ($Δx = x_1– x_0$).
Hvor differentialkvotienten angiver væksten i et punkt, kan differenskvotienten fortolkes som den gennemsnitlige vækst i et interval. Ved at gøre intervallet mindre nærmer differenskvotienten sig værdien af differentialkvotienten i endepunkterne.
Matematisk definition af differentialkvotienten
Grænseværdier
For at kunne definere differentialkvotienten præcist er det nødvendigt at kende til grænseværdier. Grænseværdien af et matematisk udtryk svarer til en værdi som udtrykket nærmer sig, når en variabel i udtrykket nærmer sig en bestemt værdi. Som eksempel tager vi udtrykket $x^2$. Grænseværdien af $x^2$ for $x$ gående mod $2$ er $4$, fordi $x^2$ nærmer sig $4$, når $x$ nærmer sig $2$. Dette skrives på følgende måde:
x2 → 4 for x→2
eller
$$ lim_{x \rightarrow 2}(x^2) = 4 $$
Definition af differentialkvotienten
Tilsammen danner differenskvotienten og grænseværdier udgangspunktet for definitionen af differentialkvotienten:
Differentialkvotient
Differentialkvotienten til en funktion $f$ for en værdi af den uafhængige variabel, $x_0$, er defineret som følgende grænseværdi:
$$ f'(x_0) = lim_{x \rightarrow x_0} (\frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}) = lim_{\Delta x \rightarrow 0} (\frac{f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)}{\Delta x}) $$
$Δx$ angiver forskellen mellem værdien $x$ og $x_0$ ($Δx = x – x_0$).
Med andre ord angiver differentialkvotienten hældningen af en sekant, der går gennem to forskellige punkter på funktionens graf, som har en afstand på $0$ mellem sig. Som eksempel på benyttelse af definitionen kan man for funktionen $f(x) = 7x$ opstille differentialkvotienten $f'(10)$:
$$ f'(10) = lim_{\Delta x \rightarrow 0} (\frac{f(10 + \Delta x) – f(10)}{\Delta x}) $$
$$ f'(10) = lim_{\Delta x \rightarrow 0} (\frac{7 \cdot (10 + \Delta x) – 7 \cdot (10)}{\Delta x}) $$
Efter at have indsat forskriften med værdien af $x_0$ i “formlen” vil man som regel benytte en procedure kendt som 3-trinsreglen til at bestemme værdien af differentialkvotienten:
3-trinsreglen (bestemmelse af differentialkvotient)
Differentialkvotienten $f'(x_0)$ er defineret som følgende grænseværdi af en differenskvotient:
$$ f'(x_0) = lim_{\Delta x \rightarrow 0} (\frac{f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)}{\Delta x}) $$
Følgende procedure for evaluering af udtrykket omtales som 3-trinsreglen:
- Reducer udtrykket $f(x_0+ Δx) –f(x_0)$ for den kendte forskrift for funktionen (evaluer tælleren i differenskvotienten)
- Divider tælleren med $Δx$ (evaluer differenskvotienten)
- Bestem grænseværdien af det endelige udtryk når $Δx$ går mod $0$ (evaluer differentialkvotienten)
Ved bestemmelse af $f'(10)$ vil denne trinvise tilgang give anledning til følgende:
Trin 1 (evaluer tælleren i differenskvotienten):
$$ f'(10) = lim_{\Delta x \rightarrow 0} (\frac{7 \cdot (10 + \Delta x) – 7 \cdot (10)}{\Delta x}) = lim_{\Delta x \rightarrow 0} (\frac{70 + 7\Delta x – 70}{\Delta x}) = lim_{\Delta x \rightarrow 0} (\frac{7\Delta x}{\Delta x}) $$
Trin 2 (evaluer differenskvotienten):
$$ f'(10) = lim_{\Delta x \rightarrow 0} (\frac{7\Delta x}{\Delta x}) = lim_{\Delta x \rightarrow 0} (7) $$
Trin 3 (evaluer differentialkvotienten):
$$ f'(10) = lim_{\Delta x \rightarrow 0} (7) = 7 $$
Dermed er differentialkvotienten i det konkrete tilfælde $7$.
ØVELSE: DIFFERENTIALKVOTIENT OG TANGENT
Opsamling
Dette modul har givet en introduktion til emnet differentialregning. Modulet har givet en forståelse for følgende:
- Anvendelsesområde for differentialregning
- Differenskvotient og sekant
- Differentialkvotient og tangent
TEST: INTRODUKTION TIL DIFFERENTIALREGNING
Opgaver
OPGAVE: Introduktion til differentialregning