Lineære funktioner af to variabler

Inden for økonomi vil det, man ønsker at maksimere eller minimere ofte afhænge af to variable talstørrelser. For eksempel kan det være man ønsker det største økonomiske overskud eller det laveste ressourceforbrug, når man producere to forskellige varer. I dette modul gennemgås, hvordan funktioner med to uafhængige variable ($x$ og $y$) er opbygget, og hvordan man visualiserer dem grafisk i et koordinatsystem ved hjælp af niveaulinjer.

Kriteriefunktioner

En funktion af to variable tildeler en værdi til hvert punkt $(x, y)$ i planen. Inden for lineær programmering kaldes en sådan funktion ofte for en kriteriefunktion, fordi den opstiller det kriterie, vi optimerer efter. Den generelle forskrift for en lineær kriteriefunktion er:

$$f(x, y) = a \cdot x + b \cdot y$$

Her er:

• $x$ og $y$ er de uafhængige variable (f.eks. antallet af to forskellige produkter).
• $a$ og $b$ er konstante koefficienter (f.eks. dækningsbidraget pr. produceret enhed).
• $f(x, y)$ er værdien af funktionen (f.eks. det samlede dækningsbidrag).

Eksempel 1: Hvis en virksomhed tjener 50 kr. pr. solgt enhed af vare $x$ og 80 kr. pr. solgt enhed af vare $y$, kan den samlede fortjeneste beskrives ved kriteriefunktionen:

$$f(x, y) = 50x + 80y$$

Niveaulinjer

Da en funktion af to variable har tre dimensioner ($x, y$ og funktionsværdien $z$), kan det være svært at tegne den direkte i et almindeligt koordinatsystem. I stedet bruger man niveaulinjer. En niveaulinje er en mængde af punkter $(x, y)$, der alle giver den samme funktionsværdi $t$. Man finder niveaulinjens ligning ved at sætte kriteriefunktionen lig med en konstant værdi $t$:

$$a \cdot x + b \cdot y = t$$

Når man isolerer $y$ i denne ligning ser man, at en niveaulinje $N(t)$ er en ret linje på formen:
$$N(t): \quad y = -\frac{a}{b}x + \frac{t}{b}$$

Ud fra forskriften kan man se, at der er følgende egenskaber ved niveaulinjerne for en given kriteriefunktion:

• Alle niveaulinjer for den samme funktion er parallelle, fordi de har den samme hældningskoefficient ($-\frac{a}{b}$).
• Når værdien af $t$ øges, flytter niveaulinjen sig i koordinatsystemet ($\frac{t}{b}$ er skæringen med $y$-aksen).
• Niveaulinjen $N(0)$ går gennem $(0,0)$ i $xy$-planen ($\frac{0}{b}=0$).

Eksempel 2: For funktionen $f(x, y) = 50x + 80y$ kan niveaulinjen for $t = 400$ skrives på som:

$$50x + 80y = 400$$

Når $y$ isoleres opnås formen:

$$N(400): \quad y = -\frac{50}{80}x + \frac{400}{80}$$

Opsamling

Dette modul har introduceret lineære funktioner af to variable som værktøj til at beskrive mål og økonomi. Du kan nu:

• Opstille en kriteriefunktion ud fra en tekstbeskrivelse.
• Forklare hvad en niveaulinje repræsenterer.
• Omskrive en kriteriefunktion til linjes ligning for en bestemt værdi $t$.
• Tegne niveaulinjer i et koordinatsystem og bestemme deres vækstretning og forstå at alle niveaulinjer for en given funktion er parallelle.

Opgaver

OPGAVE: Lineære funktioner af to variabler