Kontinuere sandsynlighedsfordelinger

Indledning

Dette modul omhandler kontinuere stokastiske variabler. Dette er variabler der kan antage alle talværdier i et interval; dvs. de ikke kun har heltalsværdier (f.eks. vægten eller højden på en tilfældigt udtaget dansker). Sandsynligheden for de fleste kontinuere stokastiske variabler kan med god tilnærmelse beskrives med det, der kaldes en normalfordeling. Overskrifterne i modulet er:

• Kontinuere stokastiske variabler
• Tæthedsfunktioner og fordelingsfunktioner
• Normalfordelinger

Kontinuere stokastiske variabler

Hvis udfaldsrummet består af et uendeligt antal tal i et interval omtales den stokastiske variabel som kontinuer. Dette kan f.eks. være højder på tilfældigt udtagne personer da en person i princippet kan have en hvilken som helst højde. Det giver ikke megen mening at snakke om sandsynligheden for en bestemt talværdi ved en kontinuer stokastisk variabel. Man snakker derimod om sandsynligheden for, at en stokastiske variabel ligger i et interval. Længden på et kuglestød er eksempel på en kontinuer stokastisk variabel da længden af et kast i princippet kan have alle længder. Hvis en kuglestødskaster højst kan kaste 50 meter, vil alle udfald ligge i intervallet 0 til 100 meter. Sandsynligheden for at han præcist kaster 25,0 meter vil være 0%. Hvis man antager at alle længder er lige sandsynlighed vil sandsynligheden for at han kaster mellem 20 og 30 meter være 10% (10/100=0,1).

ØVELSE: KONTINUERE STOKASTISKE VARIABLER

Tæthedsfunktioner og fordelingsfunktioner

Sandsynligheden for de enkelte udfald for en kontinuer stokastisk variabel er 0% da der i princippet er uendelige mange forskellige udfald (et interval indeholder uendelige mange tal). Man anvender derfor en tæthedsfunktion til at beskrive sandsynlighedsfordelingen frem for en egentlig sandsynlighedsfunktion. Pointen med en tæthedsfunktion er at den beskriver, hvor stor sandsynligheden er for at få et udfald i omegnen af en værdi. I det simple tilfælde at man har en ligefordeling (samme sandsynlighed for alle udfald) vil tæthedsfunktionen svarer til 1 divideret med længden af det interval som udgør udfaldsrummet (se Figur 1). Forskriften for tæthedsfunktionen i tilfælde af at udfaldsrummet er alle tal mellem 0 og 10 og der er samme sandsynlighed for alle udfald er givet som f(x)=0,1.

Når man skal bestemme sandsynligheden for et interval kan dette gøres ved at bestemme arealet under tæthedsfunktionen i det givne interval. Alternativt kan det gøres vha. fordelingsfunktionen. Fordelingsfunktion angiver for et givent udfald sandsynlighed for alle værdier der er mindre end værdien. Fordelingsfunktion er F(x)=0,1x når tæthedsfunktionen er f(x)=0,1. Der er tradition for at bruge det samme lille og store bogstav for henholdsvis tæthedsfunktionen og fordelingsfunktionen ved en given sandsynlighedsfordeling. Sandsynligheden for et udfald i et givent interval kan bestemmes ved at finde differensen mellem to værdier af fordelingsfunktionen. For eksempel, når udfaldsrummet er [0;10] vil sandsynligheden for at udfaldet ligger i intervallet mellem 2 og 6 for en ligefordeling være givet som:

$$ P(2 \lt X \lt 6) = F(6) – F(2) = 0,1 \cdot 6 – 0,1 \cdot 2 = 0,4 $$

Det vil sige sandsynligheden er 40% for det givne interval.

ØVELSE: TÆTHEDSFUNKTIONER OG FORDELINGSFUNKTIONER

Normalfordelinger

Den mest almindeligt forekommende fordeling er normalfordelingen. Den har følgende tæthedsfunktion:

Normalfordeling

En kontinuer stokastisk variabel X med forventningsværdi μ og spredningen σ siges at være normalfordelt, hvis den har følgende tæthedsfunktion:

$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma ^2}} \cdot e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2} $$

Højden på en ensartet gruppe af mennesker siges at være normalfordelt. For 18 årige mænd er gennemsnitshøjden 181,6 cm og spredningen er 8,5 cm. Derfor vil tæthedsfunktionen for højden være givet ud fra forskriften:

$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \cdot 8,5 ^2}} \cdot e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-181,6}{8,5})^2} $$

De fleste stokastiske variabler kan med god tilnærmelse beskrives med en normalfordeling. Baggrunden for dette ligger i den regel der kendes som den centrale grænseværdi sætning:

Den centrale grænseværdisætning

Lad X₁, X₂, … X_n være n uafhængige stokastiske variabler. Gennemsnittet og summen vil da være givet som:

$$ \overline{X} = \frac{X_1+X_2+…+X_n}{n} $$

$$ \sum{X_i} = X_1+X_2+…+X_n $$

Hvis n er stor vil middelværdien og summen af de n stokastiske variabler med god tilnærmelse være normalfordelt:

$$ \overline{X} \sim N(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{n} }) $$

$$ \sum{X_i} \sim N(n \cdot \mu, \sigma) $$

hvor μ og σ er henholdsvis forventningsværdien og spredningen af de n stokastiske variabler.

Det som den centrale grænseværdi sætning siger er at gennemsnittet eller summen af et stort antal tilfældige variabler vil være normalfordelt. Højden af en tilfældig udvalgt person er et godt eksempel på en variabel som er summen af mange tilfældige variabler. Man kan se hvert år som personen vokser som en variabel. Højden af en person der stopper med at vokse når personen bliver 18 år er dermed summen af 18 forskellige stokastiske variabler. På lignende vis kan de fleste andre stokastiske variabler ses som en sum eller gennemsnit af tilfældige variabler. Derfor har det vist sig at de fleste kontinuere stokastiske variabler man præsenteres for i den virkelige verden med god tilnærmelse er normalfordelte.

ØVELSE: NORMALFORDELINGER

Opsamling

I dette modul er blevet behandlet emnet kontinuere stokastiske variabler. Modulet har givet en forståelse for følgende:

• Kontinuere stokastiske variabler
• Normalfordelinger

TEST: KONTINUERE SANDSYNLIGHEDSFORDELINGER

Andre opgaver

OPGAVE: Sandsynlighedsregning

Eksterne links

• Kontinuer stokastisk variabel
• Tæthedsfunktion og fordelingsfunktion
• Normalfordeling – Hvad er det?