Differentiation af en sammensat funktion

Indledning

Dette modul omhandler, hvordan man differentiere en sammensat funktion (f.eks. ved bestemmelse af den afledede til $f(x) = e^{2x}$). I dette modul vil blive introduceret og behandlet følgende:

• Definition af sammensatte funktioner
• Differentiation af sammensatte funktioner

Afledede af en sammensat funktion

Sammensatte funktioner

Begrebet sammensat funktion dækker over en sammenhæng, der kan betegnes som “en funktion af en funktion”. For eksempel, kan funktionen $ln(x^2)$ betegnes som sammensat af funktionen “$ln(x)$” og funktionen “$x^2$”. Sammensatte funktioner har følgende definition:

Sammensat funktion

Lad $f$ og $g$ være to funktioner.

Den sammensatte funktion $(f \circ g)$ er defineret som funktionen $f$ af $g$:

$$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $$

For eksempel, hvis $f_1(x) = ln(x)$ og $f_2(x) = x^2$, vil den sammensatte funktion af $f_1$ og $f_2$ være givet som:

$$ (f_1 \circ f_2)(x) = ln(x^2) $$

ØVELSE: SAMMENSATTE FUNKTIONER

Differentiation af sammensatte funktioner

Følgende regel for differentiation af sammensatte funktioner omtales som kædereglen:

Kædereglen (differentiation af sammensat funktion)

Den afledede til den sammensatte funktion (f \circ g) er givet som:

$$ (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$

For at reglen kan anvendes kræves det, at $f'(g(x))$ og $g'(x)$ eksisterer.

Benyttes reglen på funktionen $(f_1 \circ f_2)(x) = ln(x^2)$ opnås følgende afledede funktion:

$$ (f_1 \circ f_2)'(x) = f_1^\prime(f_2(x)) \cdot f_2^\prime(x) = \frac{1}{x^2} \cdot 2x $$

Dette kan reduceres til:

$$ (f_1 \circ f_2)'(x) = \frac{2}{x} $$

ØVELSE: KÆDEREGLEN

Opsamling

I dette modul er blevet beskrevet, hvordan man kan differentiere sammensatte funktioner vha. kædereglen. Du har nu opnået en forståelse for følgende:

• At en sammensat funktion er “en funktion af en funktion” ($(f \circ g)(x) = f(g(x))$)
• Man kan differentiere sammensatte funktioner vha. af kædereglen ($(f \circ g)(x) = f'(g(x))g'(x)$)

TEST: DIFFERENTIATION AF EN SAMMENSAT FUNKTION

Opgaver

OPGAVE: Differentiation af sammensat funktion

Eksterne links

• Differentiation af en sammensat funktion