Opgaver i Funktionsanalyse vha. differentialregning
Fag: Matematik B
Opgave 1: Monotoniforhold for et andengradspolynomium
En funktion er givet ved
$$
f(x) = x^2 – 4x + 3.
$$
- Opgave a: Bestem den afledede funktion $ f’(x) $.
- Opgave b: Løs ligningen $ f’(x) = 0 $.
- Opgave c: Afgør om grafen har et minimum eller maksimum i dette punkt.
Opgave 2: Fortegnsskema og monotoniforhold
En funktion er givet ved
$$
g(x) = \frac{1}{3}x^3 – 2x^2 + 3x.
$$
- Opgave a: Bestem $ g’(x) $ og løs $ g’(x) = 0 $.
- Opgave b: Lav et fortegnsskema (monotonilinje) for $ g’(x) $.
- Opgave c: Bestem de intervaller, hvor $ g $ er voksende og aftagende, og angiv eventuelle lokale ekstrema (angiv både $ x $ og $ y $).
Opgave 3: Analysér en tredjegradspolynomisk funktion med to ekstrema
En funktion er givet ved
$$
h(x) = -x^3 + 6x^2 – 9x.
$$
- Opgave a: Bestem $ h’(x) $ og løs $ h’(x) = 0 $.
- Opgave b: Lav et fortegnsskema for $ h’(x) $ og bestem monotoniforholdene.
- Opgave c: Angiv koordinatsættet til lokalt maksimum og lokalt minimum. Marker punkterne på en skitse af grafen.