- 999 (Registered)
-
(0 Reviews)
Hændelser
Indledning
Dette modul omhandler hændelser og regler for beregning af sandsynligheden for hændelser. Overskrifterne er:
- Hændelser
- Additionsprincippet for sandsynlighed
- Multiplikationsprincippet for sandsynlighed
Hændelser
En hændelse henviser til flere forskellige udfald i udfaldsrummet. For eksempel vil sandsynligheden for at slå et lige tal med en almindelig terning svarer til sandsynligheden for hændelsen 2, 4 eller 6 (hændelsen skrives {2,4,6}). Sandsynligheden vil være 3 gange 1/6, da der er 3 udfald i hændelsen (50%). Generelt gælder følgende simple regel, når man skal bestemme sandsynligheden for en hændelse i et symmetrisk sandsynlighedsfelt:
Sandsynlighed for hændelse
Sandsynligheden for en hændelse A i et symmetrisk sandsynlighedsfelt (U, P) er givet som antallet af gunstige udfald |A| divideret med det samlede antal udfald |U|:
$$ P(A) = \frac{|A|}{|U|} $$
For eksempel vil sandsynligheden for at slå et lige antal øjne være 50% da:
$$ P(“Lige \ antal \ øjne”) = \frac{|\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|} = \frac{3}{6} = 0,5 $$
Additionsprincippet for sandsynlighed
En fælleshændelse er en mængden af udfald, der er fælles for flere hændelser. Fælleshændelsen af hændelse A og B skrives A∩B og er de udfald som både er inden for hændelse A og hændelse B. Fælleshændelsen af, at en terning slår et lige antal øjne, og at der er mindre end eller 3 øjne, er tallet {2} (2 er det eneste lige tal, som er mindre end eller lig med 3).
En foreningshændelse er en mængde af udfald, der svarer til foreningen af flere hændelser. Foreningshændelsen af hændelse A og B skrives A∪B og er de udfald som er inden for hændelse A og/eller hændelse B. Foreningshændelsen af, at en terning slår et lige antal øjne, og at der er mindre end eller 3 øjne, er tallene {1,2,3,4,6}. Additionsprincippet kan benyttes til at bestemme sandsynligheden for foreningshændelser:
Additionsprincippet for sandsynligheden af to hændelser
Hvis man har to hændelser A og B kan sandsynligheden af foreningshændelsen af A og B bestemmes med følgende formel, hvis A og B ikke har nogle udfald tilfælles (disjunkte hændelser):
$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $$
Hvis A og B har udfald tilfælles kan følgende formel benyttes:
$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) $$
I forhold til en symmetrisk terning vil man forvente, at sandsynligheden for at slå et lige antal og/eller et tal der er mindre end eller lig med 3 vil være 5/6 (der er 5 udfald). Man ville få det samme resultat ud fra additionsprincippet:
$$ P(\{2,4,6\} \cup \{1,2,3\}) = P(\{2,4,6\}) + P(\{1,2,3\}) – P(\{2,4,5\} \cap \{1,2,3\})$$
$$ P(\{2,4,6\} \cup \{1,2,3\}) = P(\{2,4,6\}) + P(\{1,2,3\}) – P(\{2\})$$
$$ P(\{2,4,6\} \cup \{1,2,3\}) = 3/6 + 3/6 – 1/6 = 5/6 $$
Multiplikationsprincippet for sandsynlighed
Når man har et eksperiment, der giver to forskellige uafhængige variabler ved hvert forsøg, kan sandsynligheden for en bestemt kombination af hændelser bestemmes vha. multiplikationsprincippet for sandsynligheder:
Multiplikationsprincippet for sandsynligheden ved to stokastiske variabler
Man har to uafhængige stokastiske variabler X og Y, der begge bliver produceret ved det samme eksperiment. A er en hændelse i udfaldsrummet for X, og B er en hændelse i udfaldsrummet for Y. Sandsynligheden for, at både A og B forekommer, er givet ved formlen:
$$ P(A \ og \ B) = P(A) \cdot P(B) $$
Ved et eksperiment, hvor der produceres to stokastiske variabler X og Y, og hvor formlen ikke gælder generelt, siges X og Y at være afhængige (sandsynlighederne for et udfald i udfaldsrummet for X afhænger af, hvilket udfald man får i udfaldsrummet for Y).
Hvis man slår med en symmetrisk terning samtidig med, at man slår plat og krone med en mønt, er det rimeligt at antage, at udfaldet af slaget med terningen er uafhængigt af, om mønten giver plat eller krone. Multiplikationsprincippet kan dermed anvendes til at udregne sandsynligheden for at slå “1” med terningen og “plat” med mønten:
$$ P(antal \ øjne = “1” \ og \ mønt = “plat”) = P(antal \ øjne = “1”) \cdot P(mønt = “plat”) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{12} $$
Det antages her, at terningen og mønten er symmetriske.
ØVELSE: MULTIPLIKATIONSPRINCIPPET
Opsamling
I dette modul er blevet behandlet begrebet hændelser. Modulet har givet en forståelse for følgende:
- Hændelser
- Beregning af sandsynlighed for hændelser