Anvendelse af lineær programmering inden for økonomi

Lineær programmering (LP) er et uundværligt værktøj i økonomisk planlægning. Virksomheder står dagligt over for valget om, hvordan de bedst udnytter deres begrænsede ressourcer (maskiner, tid, råvarer) til at nå et økonomisk mål. Inden for økonomi arbejder vi typisk med to typer af optimering:

1. Maksimering: At opnå det størst mulige samlede dækningsbidrag (overskud).
2. Minimering: At opnå en bestemt standard eller produktion til de lavest mulige omkostninger.

Dette modul viser den fulde matematiske proces for begge scenarier.

Eksempel 1: Maksimering af fortjeneste

En virksomhed producerer to typer computere: Gaming-PC’er ($x$) og Kontor-PC’er ($y$):

• Dækningsbidraget (fortjenesten) er 2.000 kr. pr. Gaming-PC og 1.200 kr. pr. Kontor-PC.
• Begrænsning 1 (Arbejdskraft): Det tager 5 timer at samle en Gaming-PC og 2 timer for en Kontor-PC. Der er 100 timer til rådighed.
• Begrænsning 2 (Komponenter): Der bruges et specifikt grafikkort i begge. Gaming-PC’en bruger 2 stk. og Kontor-PC’en bruger 1 stk. Der er 44 stk. på lager.

Den kombination af producerede antal Gaming-PC’er og Kontor-PC’er der giver det maksimale dækningsbidrag bestemmes trinvis vha. LP-algoritmen:

1) Variabler

• $x = \text{antal Gaming-PC’er}$
• $y = \text{antal Kontor-PC’er}$.

2) Kriteriefunktion

• $f(x, y) = 2000x + 1200y$ (skal maksimeres).

3) Begrænsninger (Uligheder)

• $5x + 2y \le 100$ (Arbejdskraft)
• $2x + y \le 44$ (Komponenter)
• $x \ge 0, y \ge 0$ (Ikke-negative betingelser)

4) Polygonområde

Ved at tegne ulighederne i et koordinatsystem findes det fælles løsningsområde. Hjørnepunkterne findes til: $(0,0), (0,44), (20,0)$ og skæringen $(12, 20)$.

5) Optimering (bestemmer maksimum vha. hjørnepunktsinspektion)

Bestemmer dækningsbidrag svarende til hvert hjørne i polygonområdet:

• $f(0, 44) = 2000 \cdot 0 + 1200 \cdot 44 = 52.800$
• $f(12, 20) = 2000 \cdot 12 + 1200 \cdot 20 = 48.000$
• $f(20, 0) = 2000 \cdot 20 + 1200 \cdot 0 = 40.000$

Man kan se, at den største værdi af $f(x,y)$ (dækningsbidrag) opnås for punktet $(0,44)$ (0 Gaming-PC’er og 44 Kontor-PC’er).

Konklusion

Den maksimale fortjeneste er 52.800 kr., som opnås ved kun at producere 44 Kontor-PC’er.

Eksempel 2: Minimering af omkostninger

Lineær programmering kan også bruges til at finde den billigste løsning. Dette ses ofte ved blandingsproblemer, f.eks. i landbrug eller kemisk produktion, hvor et produkt skal overholde visse minimumskrav.

En landmand skal blande to typer foder, Type A ($x$ kg) og Type B ($y$ kg), så hans køer får dækket deres vitaminbehov til lavest mulige pris:

• Prisen er 5 kr./kg for Type A og 8 kr./kg for Type B.
• Krav 1 (Vitamin 1): Foderet skal indeholde mindst 20 enheder af Vitamin 1. Type A indeholder 2 enheder/kg, og Type B indeholder 5 enheder/kg.
• Krav 2 (Vitamin 2): Foderet skal indeholde mindst 12 enheder af Vitamin 2. Type A indeholder 3 enheder/kg, og Type B indeholder 1 enhed/kg.

Det antal kg foder af Type A og Type B der til minimal pris dækker vitamin-kravene bestemmes trinvis vha. LP-algoritmen:

1) Variabler

• $x = \text{kg af Type A}$
• $y = \text{kg af Type B}$.

2) Kriteriefunktion

• $f(x, y) = 5x + 8y$ (skal minimeres).

3) Begrænsninger (Uligheder)

• $2x + 5y \ge 20$ (Minimumskrav Vitamin 1)
• $3x + y \ge 12$ (Minimumskrav Vitamin 2)
• $x \ge 0, y \ge 0$ (Ikke-negative betingelser)

4) Polygonområde

Her er området ubegrænset væk fra $x$- og $y$-akserne i 1. kvadrant ($(0,0)$ ligger uden for polygonområdet). Hjørnepunkterne er $(0,12), (10,0)$ og $(3.08, 2.77)$.

5) Optimering (bestemmer minimum vha. hjørnepunktsinspektion)

Bestemmer pris svarende til hvert hjørne i polygonområdet:

• $f(0, 12) = 5 \cdot 0 + 8 \cdot 12 = 96$
• $f(10, 0) = 5 \cdot 10 + 8 \cdot 0 = 50$
• $f(3.08, 2.77) = 5 \cdot 3,08 + 8 \cdot 2,77 = 37,56$

Man kan se, at den mindste værdi af $f(x,y)$ (samlet pris for foder) opnås for punktet $(3.08,2.77)$ (3,08 kg af Type A og 2,77 kg af Type B).

Konklusion

De laveste omkostninger opnås til 37,56 kr. ved at blande ca. 3,08 kg af Type A og 2,77 kg af Type B.

Opsamling

I dette modul er anvendelsen af lineær programmering i økonomiske problemstillinger blevet gennemgået. Du har nu fået forståelse for:

• Maksimeringsproblemer: At opstille og løse opgaver, hvor målet er størst muligt dækningsbidrag under ressourcebegrænsninger.
• Minimeringsproblemer: At opstille og løse opgaver, hvor målet er mindst mulige omkostninger under givne mindstekrav.

Opgaver

OPGAVE: Anvendelse af lineær programmering inden for økonomi

OPGAVE: Opsamling Lineær Programmering