Opgaver i Differentialregning
Fag: Matematik B
Emne: Differentialregning
Opgave 1: Karakteren 02
Emne: Differentiation af polynomier og beregning af væksthastighed.
En funktion $f$ er givet ved: $$ f(x) = 3x^3 – x^2 + 6x – 4 $$
- Opgave: Bestem den afledede funktion $f’(x)$, og beregn værdien af $f’(1)$.
Opgave 2: Karakteren 4
Emne: Tangentens ligning.
En funktion $f$ er givet ved: $$f(x) = x^2 + x^3$$
- Opgave: Bestem en ligning for tangenten til grafen for $f$ i punktet
$P(1, f(1))$.
Opgave 3: Karakteren 7
Emne: Monotoniundersøgelse og ekstrema.
En funktion $f$ er givet ved: $$f(x) = \frac{1}{4}x^4 – x^2 – 2x + 1$$
- Opgave:
- Bestem $f’(x)$.
- Bestem nulpunkterne for $f’(x)$.
- Opstil en monotonilinje (fortegnsskema) for $f’(x)$.
- Angiv de intervaller, hvor funktionen er voksende og aftagende.
- Bestem koordinaterne til eventuelle lokale maksimum- og minimumspunkter.
Opgave 4: Karakteren 10
Emne: Optimering i en praktisk sammenhæng.
En virksomhed skal fremstille en åben kasse med rektangulær bund, hvor bunden har længden $x$ og bredden $2x$. Kassens rumfang skal være
$600 \text{ cm}^3$. Lad $h$ betegne kassens højde.
- Opgave a: Vis, at kassens samlede overfladeareal $O(x)$ kan skrives som:
$$ O(x) = 2x^2 + \frac{1200}{x} $$
- Opgave b: Bestem den værdi af $x$, der minimerer overfladearealet.
- Opgave c: Fortolk resultatet i forhold til kassens dimensioner.
Opgave 5: Karakteren 12
Emne: Tretrinsreglen og teoretisk sammenhæng.
Denne opgave tester din forståelse af de teoretiske sammenhænge i differentialregning.
-
Opgave a: Gennemfør et formelt bevis for, at den afledede funktion til
$f(x) = x^2$ er $f’(x) = 2x$, ved at tage udgangspunkt i definitionen af differentialkvotienten (brug tretrinsreglen).
Inddrag og forklar begreberne sekant, tangent og grænseværdi. -
Opgave b: Redegør for sammenhængen mellem:
- en funktions graf
- dens afledede funktion $f’(x)$
- dens dobbelt-afledede funktion $f^{\prime\prime}(x)$
Forklar, hvordan man ved hjælp af $f’(x)$ og $f^{\prime\prime}(x)$ kan afgøre både monotoniforhold og typen af et kritisk punkt.