- 999 (Registered)
-
(0 Reviews)
Cirklens ligning
Indledning
I dette modul vil blive introduceret cirklens ligning, samt eksempler på anvendelse af cirklens ligning. Overskrifterne er:
- Cirklens ligning
- Kvadratkomplettering
- Skæring mellem en cirkel og en linje
- Tangent til en cirkel
Cirklens ligning
En cirkel er defineret som de punkter i planen, der har samme afstand $r$ fra et givent punk $C$. Punktet $C$ og afstanden $r$ kaldes henholdsvis cirklens centrum og radius. Når radius og koordinaterne for centrum af cirklen kendes, kan man nemt opskrive en ligning for cirklen:
Cirklens ligning (standardform)
For en cirkel i et koordinatsystem gælder at $r$ er radius, og $C(x_0,y_0)$ er centrum. Da kan en ligning, der angiver sammenhængen mellem $x$- og $y$-koordinaten opskrives som:
$$ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2 = r^2 $$
For eksempel vil en ligning for cirklen med centrum i $(6,7)$ og radius på $5$ være givet som:
$$ (x-6)^2+(y-7)^2=5^2 $$
Ved ophævelse af parenteserne i cirklens ligning og en mindre omskrivning opnås følgende kvadratiske ligning for cirklens ligning:
Cirklens ligning (kvadratisk ligning)
For en cirkel i et koordinatsystem gælder at $r$ er radius og $C(x_0,y_0)$ er centrum. Da kan en ligning der angiver sammenhængen mellem $x$- og $y$-koordinaten opskrives som:
$$ x^2-2x_0x+y^2-2y_0y+x_0^2+y_0^2-r^2= 0 $$
En kvadratisk ligning med to variabler $x$ og $y$, hvor $x^2$ og $y^2$ har samme koefficient, vil altid svarer til en cirkel. I den kvadratiske ligning skrevet her, er begge koefficienter $1$, og af den grund kan man være sikker på, at der er tale om en ligning for en cirkel.
Kvadratkomplettering
Standardformen af cirklens ligning har den fordel, at man relativt nemt kan aflæse cirklens centrum og radius. Den proces det er at omskrive en kvadratisk ligning for cirklens ligning til standardformen kaldes kvadratkomplettering:
Kvadratkomplettering af cirklens ligning
$$ x^2+ax+y^2+by+k = 0 $$
$$ \iff $$
$$ (x-\frac{a}{2})^2+(y-\frac{b}{2})^2 = (\frac{a}{2})^2+(\frac{b}{2})^2 – k $$
Som eksempel vil her blive foretaget kvadratkomplettering af følgende kvadratiske ligning:
$$ x^2+8x+y^2-10y-23 = 0 $$
Med symbolerne anvendt i sætningen gælder, at $a = 8$, $b = –10$ og $k = –23$. Dette giver følgende, når der foretages kvadratkomplettering:
$$ (x-\frac{8}{2})^2+(y-\frac{-10}{2})^2 = (\frac{8}{2})^2+(\frac{-10}{2})^2 – (-23) $$
$$ (x-4)^2+(y+5)^2 = 64 $$
Ud fra denne ligning kan man se, at cirklen har sit centrum i $(4,–5)$, og radius er $8$ (kvadratroden af $64$).
Skæring mellem en cirkel og en linje
Når man kender en ligning for en cirkel og en ligning for en lineær funktion, kan skæringspunktet mellem cirklen og grafen for den lineære funktion beregnes. For eksempel, hvis man kender følgende ligninger for en cirkel og en linje:
$$ (x-4)^2+(y-6)^2=100 $$
$$ y-2x+3 = 0 $$
Skæringspunktet kan bestemmes ved at løse de to ligninger med henhold til $x$ og $y$ vha. følgende procedure:
- Isoler $y$ (eller $x$) i ligningen for den lineære funktion
- Erstat $y$ (eller $x$) i ligningen for cirklen med det fundne udtryk
- Reducer og omskriv den resulterende ligningen
- Løs den resulterende andengradsligningen for at finde $x$ (eller $y$)
- Bestem $y$ (eller $x$)
For det angivne eksempel starter vi med at isolere $y$ i ligningen for den rette linje:
$$ y-2x+3 = 0 $$
$$ y = 2x-3 $$
$y$ i cirklens ligning erstattes med $2x – 3$:
$$ (x-4)^2+(2x-3-6)^2=100 $$
$$ (x-4)^2+(2x-9)^2=100 $$
Ligningen omskrives trinvis til en andengradsligningen, hvor der står $0$ på højre side af lighedstegnet:
$$ (x-4)^2+(2x-9)^2=100 $$
$$ x^2+16-8x+4x^2+81-36x=100 $$
$$ 5x^2-44x+97=100 $$
$$ 5x^2-44x-3=0 $$
Denne andengradsligning er på formen $ax2 + bx + c = 0$. Her kan følgende sætning anvendes til at løse ligningen:
Løsning af andengradsligning
En andengradsligning på formen $ax^2 + bx + c = 0$ har følgende to løsninger:
$$ x_1 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
$$ x_2 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
I det konkrete tilfælde gælder: $a = 5$, $b = –44$ og $c = –3$. Dette giver følgende to løsninger for $x$:
$$ x_1 = \frac{-(-44)-\sqrt{(-44)^2-4 \cdot 5 \cdot (-3)}}{2 \cdot 5} = -0,0677 $$
$$ x_2 = \frac{-(-44)+\sqrt{(-44)^2-4 \cdot 5 \cdot (-3)}}{2 \cdot 5} = 8,8677 $$
$y$-koordinater svarende til de to $x$-koordinater bestemmes ud fra ligningen for den lineære funktion, hvor $y$ er isoleret:
$$ y_1 = 2x_1-3 = 2 \cdot (-0,0677) – 3 = -3,1353 $$
$$ y_2 = 2x_2-3 = 2 \cdot 8,8677 – 3 = 14,7353 $$
Dermed er skæringspunkterne mellem linjen og cirklen ved $(-0.0677;−3.1353)$ og $( 8.8677;14.7353)$.
ØVELSE: SKÆRINGSPUNKT MELLEM CIRKEL OG LINJE
Tangent til en cirkel
I det tilfælde, hvor en linje kun snitter en cirkel i et punkt kaldes linjen en tangent til cirklen. Der findes følgende generelle metode til at bestemme tangenten til en cirkel i et givent punkt:
Tangent til en cirkel
Lad en cirkel i et koordinatsystem have centrum i $C(x_0,y_0)$ og lad $P(x_1,y_1)$ være et punkt på cirkelperiferien. Da vil tangenten til cirklen i punktet $P$ være givet med følgende parameterfremstilling:
$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} y_0 – y_1 \\ x_1 – x_0 \end{pmatrix} $$
Tilsvarende vil følgende relation mellem $x$ og $y$ være en repræsentation for tangenten:
$$ (x-x_1)(x_1-x_0) + (y-y_1)(y_1-y_0) = 0 $$
Som eksempel kan man finde tangen til den cirkel, der har centrum i $C(4,3)$. Vi antager, at punktet $P(8,6)$ ligger på cirkelperiferien. Parameterfremstillingen for tangenten i punktet $P$ er da givet som:
$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 – 6 \\ 8 – 4 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} $$
Tilsvarende kan en ligning for tangenten bestemmes ud fra koordinaterne for $C$ og $P$:
$$ (x-8)(8-4) + (y-6)(6-3) = 0 $$
$$ 4(x-8) -3(y-6) = 0 $$
$$ 4x-32 -3y+18 = 0 $$
$$ 4x-3y-14 = 0 $$
$$ y = 1,3333x – 4,6667 $$
Opsamling
I dette modul er blevet gennemgået cirklens ligning samt nogle egenskaber og anvendelser. Du har nu fået en forståelse for følgende:
- Opskrivning af cirklens ligning ud fra kendt centrum og radius
- Kvadratkomplettering af cirklens ligning
- Bestemmelse af skæringen mellem en cirkel og en linje
- Bestemmelse af tangenten til en cirkel i et punkt