Diskrete sandsynlighedsfordelinger

Indledning

Dette modul omhandler diskrete stokastiske variabler. Eksempler på størrelser som er diskrete stokastiske variabler er antallet af øjne man får med en terning eller antallet af personer i en stikprøve, der vælger en bestemt svarmulighed. Overskrifterne i modulet er:

• Diskrete stokastiske variabler
• Sandsynlighedsfunktioner og fordelingsfunktioner
• Binomialfordelinger

Diskrete stokastiske variabler

Når udfaldsrummet består af et endeligt antal tal, kaldes den stokastiske variabel for diskret. Eksempler på diskrete stokastiske variabler er det antal øjne, man får, når man kaster med en terning eller skostørrelsen på en tilfældigt udtaget person. Hvis udfaldsrummet består af et uendeligt antal tal i et interval, omtales den stokastiske variabel som kontinuer (f.eks. højden på en tilfældigt udvalgt person). Variabler der ikke er tal kaldes kategoriske variabler. For eksempel “Plat” og “Krone” ved et mønt kast, eller hvad en tilfældigt udtaget person svarer til et spørgsmål i en spørgeskemaundersøgelse (f.eks. “JA” og “NEJ”).

For en bestemt stokastisk variabel er det muligt at bestemte en middelværdi for variablen, svarende til det gennemsnit, man forventer at få for et uendeligt antal observationer af udfaldet af den stokastiske variabel. Da der er tale om et forventet gennemsnit, kaldes middelværdien også for forventningsværdien for den stokastiske variabel. Tilsvarende er det muligt at bestemme spredningen for en stokastisk variabel, der tilsvarende er et mål for hvor meget udfaldene for den stokastiske variabel afviger fra forventningsværdien. Forventningsværdien, spredningen, samt variansen for en diskret stokastisk variabel er defineret på samme måde som for et observationssæt inde for statistik, når frekvenserne erstattes med sandsynlighederne:

Forventningsværdi, varians og spredning af en stokastisk variabel

Lad en diskret stokastisk variabel X have udfaldsrummet U = {u₁, u₂, u₃, …} med sandsynlighederne p₁, p₂, p₃ … (p_i = P(X = u_i)). Da vil forventningsværdien μ (middelværdien), variansen Var og spredning σ være defineret ud fra følgende formler:

$$ \mu(X) = u_1 \cdot p_1 + u_2 \cdot p_2 + … = \sum{u_i \cdot p_i} $$

$$ Var(X) = \sum{(u_i-\mu(X))^2 \cdot p_i} $$

$$ \sigma(X) = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\sum{(u_i-\mu(X))^2 \cdot p_i}} $$

Eksempel 1: Et klassisk eksempel på en diskret stokastisk variabel er antallet af øjne man får, når man kaster med en seks-siddet symmetrisk terning. Formlerne kan bruges til at bestemme forventningsværdien og spredningen:

$$ \mu(“antal \ øjne”) = 1 \cdot 1/6 + 2 \cdot 1/6 + 3 \cdot 1/6 + … = 3,5 $$

$$ Var(“antal \ øjne”) =  (1-3,5)^2 \cdot 1/6+(2-3,5)^2 \cdot 1/6 + (3-3,5)^2 \cdot 1/6 + … = 2,917 $$

$$ \sigma(“antal \ øjne”) = \sqrt{17,5} = 1,708 $$

Ikke overraskende er forventningsværdien 3,5, da dette er midtpunktet mellem det mindste og højeste antal øjne, man kan slå. Ud fra den udregnede værdi af spredningen kan man sige, at de enkelte udfald i gennemsnit afviger ca. 1,7 fra forventningsværdien.

Eksempel 2: Når man kaster med en mønt, vil de to udfald typisk blive kaldt “Plat” og “Krone”. Udfaldet vil derfor ikke være en stokastisk variabel, da mulige værdier ikke svarer til talværdier. Udfaldsrummet vil være {“Plat”,”Krone”}. Men det er dog nemt at behandle det som en stokastisk variabel ved at omdøbe kategorierne til talværdier. For eksempel kan vi vælge at omdøbe “Plat” til “0” og “Krone” til “1”. Nu vil udfaldsrummet være {0,1}. Det er nu muligt at udregne forventningsværdien og spredningen:

$$ \mu(“Værdi \ af \ mønt”) = 0 \cdot 1/2 + 1 \cdot 1/2  = 0,5 $$

$$ Var(“Værdi \ af \ mønt”) =  (0-0,5)^2 \cdot 1/2+(1-0,5)^2 \cdot 1/2 = 0,25 $$

$$ \sigma(“Værdi \ af \ mønt”) = \sqrt{0,25} = 0,5 $$

Forventningsværdien er her 0,5, da det er midt imellem de to værdier som mønten kan antage (0 og 1), og spredningen er også 0,5, da udfaldene med garanti vil afvige en halv fra middelværdien (0,5 afviger 0,5 fra både 0 og 1). Eksemplet her illustrerer, hvordan en kategorisk variabel kan behandles som en stokastisk variabel. Dette har man ofte brug for, når man skal lave en statistisk undersøgelse, hvor de observerede værdier ikke er tal (f.eks. en spørgeskemaundersøgelser, hvor svarmulighederne er “JA” og “NEJ”).

ØVELSE: DISKRETE STOKASTISKE VARIABLER

Sandsynlighedsfunktioner og fordelingsfunktioner

For en diskret stokastisk variabel er sandsynligheden en funktion af talværdien for de enkelte udfald. Denne funktion bliver meget passende kaldt sandsynlighedsfunktionen. En sandsynlighedsfunktion vil typisk blive præsenteret med en tabel eller et pindediagram. 7-trinsskalaen er designet med henblik på, at de beståede karakterer har den fordeling som man ser på Figur 1. Man kan aflæse ud fra pindediagrammet, at sandsynligheden for, at en tilfældigt udtaget elev, som har bestået et fag vil have 20% sandsynlighed for at få karakten 10.

Når man skal bestemme sandsynligheden for et interval benyttes ofte en fordelingsfunktion. Denne funktion angiver, hvor stor sandsynligheden er for, at et udfald er mindre end eller det samme som en bestemt værdi. Som for den summerede frekvens ved beskrivende statistik kan sandsynligheden repræsenteres vha. et trappediagram (se Figur 2). Sandsynligheden for, at den stokastiske variabel har en værdi mellem to forskellige talværdier, kan bestemmes som differensen imellem to værdier af fordelingsfunktionen.

ØVELSE: SANDSYNLIGHEDSFUNKTIONER OG FORDELINGSFUNKTIONER

Binomialfordelinger

Binomialfordelingen er et vigtigt eksempel på en fordelingen af en diskret stokastisk variabel. Den stokastiske variabel er her antallet af successer, når et forsøg med to mulige udfald (“succes” og “fiasko”) gentages flere gange:

Binomialfordeling

Ved et basiseksperiment kan en hændelse A forekomme (succes), eller hændelsen forekommer ikke A’ (fiasko). Sandsynligheden for succes kaldes sandsynlighedsparameteren p. Der gælder

• P(A) = p
• P(A‘) = 1-p

Den stokastiske variabel der svarer til antallet af successer X, når eksperimentet gentages n gange, siges at være binomialfordelt, hvilket skrives som

• X ~ b(n,p)

n kaldes antalsparameteren. Punktsandsynligheden ved en binomialfordelingen er givet ud fra formlen:

$$ P(X=r) = K(n,r) \cdot p^r (1-p)^{n-r} $$

K(n,r) er binomialkoefficienten og svarer til antal kombinationer, når r elementer udtages af en pulje på n elementer:

$$ K(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} $$

Binomialfordelinger bliver ofte brugt til at beskrive situationer, hvor den stokastiske variabel er et antal. For eksempel i en stikprøve, vil antallet af respondenter være binomialfordelt for én given svarmulighed. Hvis man spørger 100 tilfældige danskere om de går ind for at ændre abortgrænsen og antager, at 50% vil svare “Ja”, vil der være følgende sandsynlighedsfordeling ved en given stikprøve:

$$ P(X=r) = K(100,r) \cdot p^r (1-0,5)^{100-r} $$

Dette vil være forskriften for sandsynlighedsfunktionen, når antallet der svarer “Ja” er den stokastiske variabel (antallet af successeer). Sandsynligheden for, at præcist 50 personer svarer “ja” vil være:

$$ P(X=50) = \frac{100!}{50!(100-50)!} \cdot 0,5^r (1-0,5)^{100-50} = 0,0796 $$

Det vil sige sandsynligheden for, at netop 50 personer svarer “Ja”, vil være 7,96%.  Et stolpediagram der viser alle sandsynlighederne ses på Figur 3.

ØVELSE: BINOMIALFORDELING

Opsamling

I dette modul er blevet behandlet emnet diskrete stokastiske variabler. Modulet har givet en forståelse for følgende:

• Diskrete stokastiske variabler
• Binomialfordelinger

TEST: DISKRET SANDSYNLIGHEDSFORDELING

Eksterne links

• Stokastisk variabel
• Diskrete stokastiske variabler
• Binomialfordelt stokastisk variabel