- 999 (Registered)
-
(0 Reviews)
Chi-i-anden-test
Chi-i-anden-test er en statistisk test, der bruges til at undersøge fordelingen af kategoriske variabler. En chi-i-anden-test kan bruges, når man arbejder med antal – altså hvor mange observationer der falder i forskellige kategorier. Chi-i-anden-test har mange vigtige anvendelser. Man kan bruge den til at teste, om observerede fordelinger stemmer overens med en teoretisk forventet fordeling (Goodness of Fit-test), eller man kan teste, om to kategoriske variabler er uafhængige af hinanden. Eksempler på anvendelser kan være: Er en mønt fair eller er den skæv? Stemmer kønsfordelingen i en klasse overens med kønsfordelingen i befolkningen? Er der sammenhæng mellem rygning og lungekræft?
Eksempel: Er mønten fair?
Forestil dig, at du kaster en mønt 100 gange og får 65 plat og 35 krone. Intuitivt virker det “skævt” – en fair mønt skulle give omkring 50 af hver. Men hvor stor skal afvigelsen være, før vi konkluderer, at mønten er skæv? En Chi-i-anden-test giver os en systematisk måde at besvare dette spørgsmål på.
Chi-i-anden-fordelingen
Definition og egenskaber
Chi-i-anden-fordelingen (betegnet $\chi^2$) er en sandsynlighedsfordeling, der bruges til at teste hypoteser om kategoriske data. Fordelingen afhænger af noget vi kalder antallet af frihedsgrader (df, degrees of freedom), der i er en heltalsværdi der bestemmer, hvilken Chi-i-anden-fordeling vi skal bruge i et givent tilfælde. Antallet af frihedsgrader vokser, når antallet af mulige kategorier (friheden) forøges.
Egenskaber ved chi-i-anden-fordelingen:
- Den stokastiske variabel $\chi^2$ kan ikke være negativ
- Fordelingen er skæv mod højre (tæthedsfunktionen ligner lidt en hval)
- Når antallet af frihedsgrader øges, bliver fordelingen mere symmetrisk (begynder at blive klokkeformet)
- Fordelingen bruges til at afgøre, hvor sandsynligt det er at opnå de indsamlede data under antagelse af at nulhypotesen $H_0$ er sand (f.eks. at vi får 65% plat og 35% krone for en fair mønt)
Når man bruger den i de følgende tests, vil arealet under tæthedsfunktion for værdier, der er større end den fundne teststørrelse ($\chi^2$) være et mål for, hvor sandsynligt det er at opnå de givne observationer, hvis vores begyndelsesantagelse $H_0$ er sand ($p$-værdien). Dette vil altid blive gjort med et matematik-program.
Teststørrelsen
I alle typer chi-i-anden-tests beregnes en teststørrelse, der måler, hvor godt de observerede data stemmer overens med, hvad vi forventede under nulhypotesen. Teststørrelsen beregnes som:
$$\chi^2 = \sum \frac{(O_i – E_i)^2}{E_i}$$
hvor:
- $O_i$ = observeret antal i kategori $i$ (det vi faktisk så)
- $E_i$ = forventet antal i kategori $i$ (hvad vi forventede)
- $\sum$: Tager summen af bidrag fra alle kategorier
Fortolkning af teststørrelse:
- Hvis observerede og forventede værdier ligger tæt på hinanden, er $\chi^2$ tæt på 0
- Hvis de ligger langt fra hinanden, er $\chi^2$ stor
- En stor værdi af $\chi^2$ indikerer, at afvigelserne fra de forventede værdier ikke er tilfældig
Den generelle algoritme for chi-i-anden-test
Chi-i-anden-test følger altid samme skema:
1. Opstilling af hypoteser
- $H_0$ (nulhypotese): En specifik påstand om en fordeling (f.eks. at alle udfald er lige sandsynlige)
- $H_1$ (alternativ hypotese): Påstand om, at $H_0$ ikke er sand (at fordelingen er anderledes end forventet)
2. Beregning af forventet antal
- Under antagelse af, at $H_0$ er sand, beregnes hvor mange observationer vi forventer i hver kategori.
3. Beregning af teststørrelse
- Beregn $\chi^2$ ud fra formlen ovenfor.
4. Sammenligning med kritisk værdi eller p-værdi
- Sammenlign $\chi^2$ med den kritiske værdi fra chi-i-anden-tabellen (for givet signifikansniveau, f.eks. $\alpha = 0,05$)
- Eller beregn p-værdien (sandsynligheden for at få en mere ekstrem teststørrelse end den fundne hvis $H_0$ er sand)
5. Konklusion
- Hvis $\chi^2$ < kritisk værdi (eller p-værdi > $\alpha$): Forkast ikke $H_0$
- Hvis $\chi^2$ > kritisk værdi (eller p-værdi < $\alpha$): Forkast $H_0$ og Accepter $H_1$
Forudsætninger for chi-i-anden-test
Chi-i-anden-test har nogle vigtige forudsætninger:
- Data skal være en form for antal (antal observationer i kategorier)
- Forventet antal i hver celle skal være mindst 5 ($ E_i \geq 5$)
Goodness of Fit (GOF) test
En Goodness of Fit-test (GOF) tester, om en observeret fordeling stemmer overens med en teoretisk forventet fordeling. Med andre ord: Hvor godt passer vores data til en bestemt model?
GOF-test med to kategorier
En mønt kastes 100 gange. Vi får 65 plat og 35 krone. Vi ønsker at teste, om mønten er fair.
1. Opstilling af hypoteser
- $H_0$: Møntens er fair (P(plat) = 0,5, P(krone) = 0,5)
- $H_1$: Møntens er ikke fair
Signifikansniveau: $\alpha = 0,05$
2. Beregning af forventet antal
Under $H_0$ forventer vi 50% plat og 50% krone:
- $E_{\text{plat}} = 100 \times 0,5 = 50$
- $E_{\text{krone}} = 100 \times 0,5 = 50$
Ud fra dette opstiller vi en tabel:
$$
\begin{array}{l c c c}
\hline
\text{Kategori} & \text{Observeret } (O_i) & \text{Forventet } (E_i) & (O_i – E_i)^2 / E_i \\
\hline
\text{Plat} & 65 & 50 & (65-50)^2/50 = 225/50 = 4.5 \\
\text{Krone} & 35 & 50 & (35-50)^2/50 = 225/50 = 4.5 \\
\textbf{Total} & \textbf{100} & \textbf{100} & \textbf{9} \\
\hline
\end{array}
$$
3. Beregning af teststørrelse
- $\chi^2 = 4,5 + 4,5 = 9,0$
Ved en GOF-test bestemmes antallet frihedsgrader som antallet af kategorier $k$ minus 1. I dette tilfælde giver dette følgende:
$$df = k – 1 = 2 – 1 = 1$$
Det vil sige, at vi skal bruge en chi-i-anden-fordeling med 1 frihedsgrad.
4. Sammenligning med kritisk værdi
Ved beregning med et matematik-program får vi for en chi-i-anden fordeling med $df = 1$ og $\alpha = 0,05$ en kritisk værdi på 3,841 (sandsynligheden for at få en værdi af $\chi^2$ der er større end dette er mindre end 5%).
Da $\chi^2 = 9,0 > 3,841$ forkaster vi $H_0$.
5. Konklusion
Med mere end 95% sikkerhed kan vi konkludere, at møntens er ikke fair. Der er statistisk signifikant forskel mellem det observerede og det forventede resultat.
Test for uafhængighed
En test for uafhængighed tester, om der er en sammenhæng mellem to kategoriske variabler. Med andre ord: Er de to variabler uafhængige, eller påvirker de hinanden?
Data organiseres typisk i en antalstabel, hvor hver celle viser antal observationer, der falder i kombinationen af de to variablers kategorier.
2 × 2 antalstabel
En medicinsk undersøgelse undersøger sammenhængen mellem rygning og lungekræft. En hypotese siger, at rygning forøger sandsynligheden for at få lungekræft. Data fra 1000 personer viser følgende:
$$
\begin{array}{l c c c}
\hline
& \text{Lungekræft} & \text{Ingen lungekræft} & \text{Total} \\
\hline
\textbf{Ryger} & 60 & 240 & 300 \\
\textbf{Ikke-ryger} & 10 & 690 & 700 \\
\textbf{Total} & 70 & 930 & 1000 \\
\hline
\end{array}
$$
1. Opstilling af hypoteser
- $H_0$: Rygning og lungekræft er uafhængige af hinanden (der er ingen sammenhæng mellem rygning og lungekræft)
- $H_1$: Rygning og lungekræft er afhængige af hinanden (der er en sammenhæng)
Signifikansniveau: $\alpha = 0,05$
2. Beregning af forventet antal
Under $H_0$ (uafhængighed) beregnes det forventede antal i hver celle. Her kan man bruge følgende formel:
$$E_{ij} = \frac{(\text{rækketotal}_i) \times (\text{søjletotal}_j)}{\text{samlet antal}}$$
For celle (Ryger, Lungekræft):
$$E_{11} = \frac{300 \times 70}{1000} = 21$$
For celle (Ryger, Ingen lungekræft):
$$E_{12} = \frac{300 \times 930}{1000} = 279$$
For celle (Ikke-ryger, Lungekræft):
$$E_{21} = \frac{700 \times 70}{1000} = 49$$
For celle (Ikke-ryger, Ingen lungekræft):
$$E_{22} = \frac{700 \times 930}{1000} = 651$$
Opstilling af tabel
$$
\begin{array}{l c c}
\hline
& \text{Lungekræft} & \text{Ingen lungekræft} \\
\hline
\textbf{Ryger} & O_{11}=60,\ E_{11}=21 & O_{12}=240,\ E_{12}=279 \\
\textbf{Ikke-ryger} & O_{21}=10,\ E_{21}=49 & O_{22}=690,\ E_{22}=651 \\
\hline
\end{array}
$$
3. Beregning af teststørrelse
$$\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} – E_{ij})^2}{E_{ij}}$$
$$= \frac{(60-21)^2}{21} + \frac{(240-279)^2}{279} + \frac{(10-49)^2}{49} + \frac{(690-651)^2}{651}$$
$$= \frac{1521}{21} + \frac{1521}{279} + \frac{1521}{49} + \frac{1521}{651}$$
$$= 72,43 + 5,45 + 31,04 + 2,34 = 111,26$$
Ved en test for uafhængighed bestemmes antal frihedsgrader $df$ som antal rækker $r$ minus 1 ganget med antal kolonner $c$ minus 1:
$$ df = (r-1) \cdot (c -1 ) $$
For dette tilfælde, hvor der er to kategorier for hver variabel giver dette 1 frihedsgrad:
$$df = (r-1)(c-1) = (2-1)(2-1) = 1$$
4. Sammenligning med kritisk værdi
For en chi-i-anden-fordeling med $df = 1$ og $\alpha = 0,05$ får man en kritisk værdi på 3,841.
Da $\chi^2 = 111,26 \gg 3,841$, forkaster vi $H_0$.
5. Konklusion
Der er meget stærk statistisk evidens for, at rygning og lungekræft er sammenhængende. Rygere har meget højere risiko for lungekræft end ikke-rygere.
n × m antalstabel
Forskning undersøger sammenhængen mellem uddannelsesniveau og motion. Data fra 500 respondenter:
$$
\begin{array}{l c c c c}
\hline
& \text{Motionerer dagligt} & \text{Motionerer 2-3 gange/uge} & \text{Motionerer sjældent} & \text{Total} \\
\hline
\textbf{Grundskole} & 20 & 35 & 45 & 100 \\
\textbf{Gymnasial} & 50 & 80 & 70 & 200 \\
\textbf{Videregående} & 80 & 90 & 30 & 200 \\
\textbf{Total} & 150 & 205 & 145 & 500 \\
\hline
\end{array}
$$
1. Opstilling af hypoteser
- $H_0$: Uddannelsesniveau og motionsvaner er uafhængige
- $H_1$: Uddannelsesniveau og motionsvaner er afhængige
Signifikansniveau: $\alpha = 0,05$
2. Beregning af forventet antal
For hver celle $(i,j)$:
$$E_{ij} = \frac{(\text{rækketotal}_i) \times (\text{søjletotal}_j)}{\text{samlet antal}}$$
F.eks. for (Grundskole, Motionerer dagligt):
$$E_{11} = \frac{100 \times 150}{500} = 30$$
For (Gymnasial, Motionerer dagligt):
$$E_{21} = \frac{200 \times 150}{500} = 60$$
For (Videregående, Motionerer dagligt):
$$E_{31} = \frac{200 \times 150}{500} = 60$$
Og så videre for alle 9 celler…
Opstilling af tabel med forventet antal
$$
\begin{array}{l c c c}
\hline
& \text{Dagligt} & \text{2-3 gange/uge} & \text{Sjældent} \\
\hline
\textbf{Grundskole} & O_{11}=20,\ E_{11}=30 & O_{12}=35,\ E_{12}=41 & O_{13}=45,\ E_{13}=29 \\
\textbf{Gymnasial} & O_{21}=50,\ E_{21}=60 & O_{22}=80,\ E_{22}=82 & O_{23}=70,\ E_{23}=58 \\
\textbf{Videregående} & O_{31}=80,\ E_{31}=60 & O_{32}=90,\ E_{32}=82 & O_{33}=30,\ E_{33}=58 \\
\hline
\end{array}
$$
3. Beregning af teststørrelse
$$\chi^2 = \sum_{i,j} \frac{(O_{ij} – E_{ij})^2}{E_{ij}}$$
Beregn for hver celle bidrag til teststørrelse:
- Grundskole, Dagligt: $(20-30)^2/30 = 3,33$
- Grundskole, 2-3 gange: $(35-41)^2/41 = 0,88$
- (osv. for alle 9 celler)
Teststørrelsen kan efterfølgende udregnes ved at lægge alle 9 bidrag sammen:
$$\chi^2 = 3,33 + 0,88 + 8,83 + 1,67 + 0,05 + 2,48 + 6,67 + 0,78 + 13,52 = 38,21$$
Antal frihedsgrader udregnes:
$$df = (r-1)(c-1) = (3-1)(3-1) = 4$$
4. Sammenligning med kritisk værdi
For en chi-i-anden-fordeling med $df = 4$ og $\alpha = 0,05$ får man en kritisk værdi på 9,488.
Da $\chi^2 = 38,21 \gg 9,488$ forkaster vi $H_0$.
5. Konklusion:
Der er meget stærk statistisk evidens for, at uddannelsesniveau og motionsvaner er sammenhængende. Mennesker med videregående uddannelse motionerer signifikant oftere end mennesker med lavere uddannelse.
Opsamling
I dette modul har du lært om chi-i-anden-test, en vigtig statistisk metode til arbejde med kategoriske data. Du har lært om:
- Chi-i-anden-fordelingen: En sandsynlighedsfordeling, der bruges som referencefordeling i chi-i-anden-test
- Teststørrelse: $\chi^2 = \sum \frac{(O_i – E_i)^2}{E_i}$ måler afvigelsen mellem observerede og forventede værdier
- Frihedsgrader: Antal uafhængige informationer; beregnes som $df = k-1$ for GOF-test og $df = (r-1)(c-1)$ for uafhængighedstest
- Goodness of Fit (GOF)-test
- Test for uafhængighed