Opgaver i Økonomisk Optimering (LP)

Fag: Matematik B

Opgave 1: Maksimering af dækningsbidrag

En café sælger to menuer: Frokostmenu ($x$) og Aftenmenu ($y$). Caféens kapacitet i køkkenet sætter følgende begrænsning på produktionen: $$ 2x + 4y \leq 80 \quad \text{(Minutter til rådighed)} $$ Caféen har et dækningsbidrag på 50 kr. pr. frokostmenu og 120 kr. pr. aftenmenu.

  • Opgave a: Opstil kriteriefunktionen $N(x, y)$, der beskriver det samlede dækningsbidrag i kroner.
  • Opgave b: Caféen overvejer produktionsplanen $(x,y) = (20, 10)$. Tjek ved beregning, om denne plan overholder tidsbegrænsningen, og beregn det samlede dækningsbidrag for denne plan.

Opgave 2: Flaskehals og optimal indtjening

En virksomhed producerer to typer elektroniske komponenter, Type A ($x$) og Type B ($y$). Produktionen begrænses af to maskiner:

  1. Lodning: $x + 2y \leq 100$ timer.
  2. Samling: $3x + 2y \leq 180$ timer. Samt $x, y \geq 0$.

Kriteriefunktionen (dækningsbidrag i kr.): $DB(x,y) = 200x + 300y$

  • Opgave a: Tegn polygonområdet i et koordinatsystem.
  • Opgave b: Find koordinatsættet til skæringspunktet mellem de to begrænsningslinjer (det punkt, hvor begge maskiner udnyttes fuldt ud).
  • Opgave c: Beregn dækningsbidraget i dette skæringspunkt, samt i hjørnerne på akserne. Hvilken produktionsplan giver det størst mulige dækningsbidrag?

Opgave 3: Minimering af omkostninger

Lineær programmering kan også bruges til at spare penge. En landmand skal blande foder til sine dyr ved at bruge to typer foderblanding: Mix 1 ($x$) og Mix 2 ($y$). Dyrene har brug for en vis mængde proteiner og vitaminer, hvilket giver følgende krav (bemærk ulighedstegnet $\geq$, da behovet mindst skal dækkes):

  1. Protein: $2x + 4y \geq 40$ enheder
  2. Vitamin: $3x + y \geq 30$ enheder Samt $x, y \geq 0$.

Prisen er 10 kr. pr. kg for Mix 1 og 15 kr. pr. kg for Mix 2. Omkostningsfunktionen er: $C(x,y) = 10x + 15y$.

  • Opgave a: Tegn det “åbne” mulighedsområde. Forklar, hvorfor området vender “opad” (væk fra (0,0)) i modsætning til maksimeringsopgaver.
  • Opgave b: Find skæringspunktet mellem de to krav-linjer.
  • Opgave c: Vi ønsker at minimere $C(x,y)$. Beregn omkostningerne i skæringspunktet samt i de relevante hjørnepunkter på akserne. Hvor mange kg af hver Mix skal landmanden købe for at dække dyrenes behov billigst muligt?