Opgaver i Lineær Programmering

Fag: Matematik B

Emne: Lineær Programmering

Opgave 1: Karakteren 02

Emne: Opstilling af begrænsninger og kriteriefunktion.

En mindre virksomhed producerer to typer tasker: Model A og Model B.

  • Model A giver et dækningsbidrag (DB) på 400 kr. pr. stk.
  • Model B giver et dækningsbidrag (DB) på 600 kr. pr. stk.
  • Virksomheden har maksimalt 500 timer til rådighed om måneden.
  • Det tager 2 timer at lave Model A og 5 timer at lave Model B.
  • Opgave a: Definer de to uafhængige variable $x$ og $y$ der indgår i vores kriteriefunktion.
  • Opgave b: Opstil en forskrift for den samlede dækningsbidragsfunktion $f(x,y)$ (kriteriefunktionen).
  • Opgave c: Opstil uligheden for tidsbegrænsningen samt de to naturlige begrænsninger ($x \geq 0$ og $y \geq 0$).

Opgave 2: Karakteren 4

Emne: Polygonområde og tjek af løsningsforslag.

En virksomhed har opstillet følgende begrænsninger for deres produktion af $x$ og $y$:

  1. $2x + y \leq 20$ (Råvarer)
  2. $x + 2y \leq 16$ (Arbejdskraft)
  3. $x \geq 0, y \geq 0$
  • Opgave a: Indtegn linjer svarende til begrænsningerne i et koordinatsystem og marker løsningsområdet (polygonområdet).
  • Opgave b: Virksomheden overvejer at producere 6 enheder af $x$ og 6 enheder af $y$. Undersøg om dette punkt $(6,6)$ ligger inden for det tilladte område.
  • Opgave c: Forklar med ord, hvad det betyder for virksomheden, hvis et punkt ligger uden for polygonområdet.

Opgave 3: Karakteren 7

Emne: Optimering med niveaulinjer (niveakurver).

En fabrik producerer to varer, $x$ og $y$. Kriteriefunktionen (det samlede dækningsbidrag) er givet ved:

$$f(x,y) = 15x + 25y$$

Deres polygonområde er afgrænset af hjørnepunkterne: $A(0,0), B(0,8), C(6,5)$ og $D(10,0)$.

  • Opgave a: Tegn polygonområdet og indtegn niveaulinjen $N_0: 15x + 25y = 150$.
  • Opgave b: Parallelforskyd niveaulinjen (visuelt eller med CAS) for at finde det optimale produktionsvalg.
  • Opgave c: Beregn det maksimale dækningsbidrag i det optimale punkt.

Opgave 4: Karakteren 10

Emne: Flaskehalse og økonomisk fortolkning.

En produktionsvirksomhed har tre begrænsninger (maskintid, montagetid og lagerplads) givet ved ulighederne:

  1. $x + y \leq 100$
  2. $2x + y \leq 160$
  3. $x + 3y \leq 240$
  4. samt $x,y \geq 0$.

Kriteriefunktionen er $f(x,y) = 20x + 25y$.

  • Opgave a: Find koordinaterne til alle polygonområdets hjørnepunkter (brug CAS).
  • Opgave b: Bestem det optimale produktionsmix $(x,y)$ og det maksimale dækningsbidrag.
  • Opgave c: Identificer hvilket sæt af begrænsninger, der er “flaskehalse” i det optimale punkt, og forklar hvad dette betyder for virksomhedens fremtidige investeringer (hvor vil de give mest mening at forøge kapaciteten?).

Opgave 5: Karakteren 12

Emne: Følsomhedsanalyse og modelkritik.

Vi tager udgangspunkt i modellen fra opgave 4, hvor det optimale punkt blev fundet til at være skæringen mellem to af linjerne.

  • Opgave a: Antag, at dækningsbidraget på vare $x$ stiger fra 20 kr. til 60 kr. Undersøg ved hjælp af niveaulinjens hældning, om det nuværende optimale punkt stadig vil være optimalt.
  • Opgave b: Gør rede for, hvordan man bestemmer det interval, som dækningsbidraget for vare $x$ kan variere indenfor, uden at det optimale produktionsmix $(x,y)$ ændrer sig (følsomhedsanalyse på koefficienterne).
  • Opgave c: Diskuter modellens begrænsninger i en virkelig erhvervsøkonomisk kontekst. Kom herunder ind på antagelsen om “linearitet” (f.eks. mængderabatter på råvarer) og “delelighed” (at man kan producere f.eks. 14,3 tasker). Hvilken betydning har det for løsningen, hvis $x$ og $y$ skal være heltal?