Opgaver i Differentialregning
Fag: Matematik A
Emne: Differentialregning
Opgave 1: Karakteren 02
Emne: Differentiation af polynomier og beregning af væksthastighed.
En funktion $f$ er givet ved: $$f(x) = 4x^3 – 2x^2 + 7x – 10$$
- Opgave: Bestem den afledede funktion $f’(x)$, og beregn $f’(2)$.
Opgave 2: Karakteren 4
Emne: Tangentens ligning.
En funktion $f$ er givet ved $f(x) = x^2 + \ln(x)$.
- Opgave: Bestem en ligning for tangenten til grafen for $f$ i punktet $P(1, f(1))$.
Opgave 3: Karakteren 7
Emne: Monotoniundersøgelse.
En funktion $f$ er givet ved: $$f(x) = \frac{1}{3}x^3 – x^2 – 3x + 5$$
- Opgave: Bestem $f’(x)$, og benyt denne til at finde funktionens nulpunkter for $f’(x)$. Opstil en monotonilinje (fortegnsskema), og bestem de intervaller, hvor funktionen er henholdsvis voksende og aftagende. Angiv eventuelle lokale ekstrema (maksimum- og minimumspunkter).
Opgave 4: Karakteren 10
Emne: Optimering i en praktisk kontekst.
Du skal designe en åben kasse med kvadratisk bund. Kassens rumfang skal være $500 \text{ cm}^3$. Lad $x$ være sidelængden i den kvadratiske bund og $h$ være højden.
- Opgave a: Vis, at kassens samlede overfladeareal $O(x)$ kan beskrives ved funktionen: $$O(x) = x^2 + \frac{2000}{x}$$
- Opgave b: Bestem den værdi af $x$, der gør overfladearealet mindst muligt.
Opgave 5: Karakteren 12
Emne: Tretrinsreglen og teoretisk sammenhæng.
- Opgave a: Gennemfør et formelt bevis for differentiation af funktionen $f(x) = x^2$ ud fra definitionen af differentialkvotienten (brug tretrinsreglen). Forklar herunder begreberne sekant, tangent og grænseværdi.
- Opgave b: Forklar sammenhængen mellem en funktions graf, dens afledede funktion ($f’$) og dens dobbelt-afledede funktion ($f^{\prime\prime}$). Hvad fortæller $f^{\prime\prime}(x)$ os om grafens krumning, og hvordan kan man bruge $f^{\prime\prime}(x)$ til at afgøre, om et kritisk punkt ($f’(x)=0$) er et maksimum eller et minimum?