Opgaver i Differentialligninger
Fag: Matematik A
Emne: Differentialligninger
Opgave 1: Karakteren 02
Emne: Bekræftelse af løsning.
Givet differentialligningen: $$\frac{dy}{dx} = 3y$$
- Opgave: Vis ved eftervisning (substitution), at funktionen $f(x) = 5 \cdot e^{3x}$ er en løsning til differentialligningen.
Opgave 2: Karakteren 4
Emne: Bestemmelse af en specifik løsning ($y’ = f(x)$).
En differentialligning er givet ved: $$\frac{dy}{dx} = 4x^3 + 2x$$
- Opgave: Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen, og find derefter den specifikke løsning, hvis graf går gennem punktet $P(1, 10)$.
Opgave 3: Karakteren 7
Emne: Forskudt eksponentiel vækst ($y’ = b – ay$).
En temperaturudvikling i en kop kaffe kan beskrives ved differentialligningen: $$\frac{dT}{dt} = 0,1 \cdot (20 – T)$$ hvor $T$ er temperaturen i grader celsius, og $t$ er tiden i minutter.
- Opgave: Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen. Hvis kaffen er $80$ grader varm til tiden $t = 0$, hvad er temperaturen så efter $15$ minutter?
Opgave 4: Karakteren 10
Emne: Logistisk vækst ($y’ = ay(M – y)$).
En population af fisk i en sø udvikler sig efter modellen: $$\frac{dN}{dt} = 0,0002 \cdot N \cdot (5000 – N)$$ hvor $N(t)$ er antallet af fisk til tiden $t$ (målt i måneder).
- Opgave a: Bestem den øvre grænse for antallet af fisk i søen (bæreevnen $M$).
- Opgave b: Bestem det antal fisk, hvor væksthastigheden er størst.
- Opgave c: Find en forskrift for $N(t)$, hvis der er $1000$ fisk til tiden $t = 0$.
Opgave 5: Karakteren 12
Emne: Separationsmetoden og teoretisk bevisførelse.
- Opgave a: Gennemfør et bevis for den fuldstændige løsning til differentialligningen $y’ = ay$. Du skal forklare de enkelte skridt, herunder hvorfor vi antager $y \neq 0$ og hvordan vi bruger integration på begge sider.
- Opgave b: Løs differentialligningen ved hjælp af separationsmetoden (separation af de variable): $$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y}$$
- Opgave c: Forklar hvad et retningsfelt og et linjeelement er. Hvordan kan man bruge et retningsfelt til at tegne en løsningskurve, selvom man ikke kan løse differentialligningen analytisk?