Opgaver i Funktioner

Fag: Matematik A

Emne: Funktioner

Opgave 1: Karakteren 2

Emne: Lineære funktioner.

En lineær funktion $f$ er givet ved forskriften $f(x) = 3x – 6$.

  • Opgave a: Bestem funktionens nulpunkt (skæring med x-aksen), og beregn værdien $f(4)$.
  • Opgave b: Beskriv hvilken betydning 3 og -6 har for grafens udseende.

Opgave 2: Karakteren 4

Emne: Eksponentiel vækst og fordoblingskonstant.

En eksponentiel udvikling er givet ved $f(x) = 200 \cdot 1,15^x$.

  • Opgave a: Angiv begyndelsesværdien og vækstraten i procent.
  • Opgave b: Beregn fordoblingskonstanten $T_2$ for funktionen.

Opgave 3: Karakteren 7

Emne: Sammensatte funktioner og definitionsmængde.

To funktioner er givet ved $f(x) = \sqrt{x}$ og $g(x) = 2x – 10$.

  • Opgave a: Bestem forskriften for den sammensatte funktion $h(x) = f(g(x))$.
  • Opgave b: Bestem definitionsmængden $Dm(h)$ for den sammensatte funktion.

Opgave 4: Karakteren 10

Emne: Regression og modelkritik.

Du får oplyst en tabel med sammenhørende værdier for $x$ (tid i år) og $y$ (omsætning i en virksomhed). En regression i dit CAS-værktøj giver modellen: $y = 45,2 \cdot x^{0,82}$

  • Opgave a: Hvilken type funktion er dette (lineær, eksponentiel eller potens)?
  • Opgave b: Forklar betydningen af tallet $0,82$ i denne model. Hvor mange procent stiger omsætningen med, hvis tiden $x$ stiger med 10 %?
  • Opgave c: Diskuter kort, hvorvidt det er realistisk, at en virksomheds omsætning følger en potensudvikling i det uendelige.

Opgave 5: Karakteren 12

Emne: Logaritmeregneregler og transformation af grafer.

  • Opgave a: Bevis logaritmeregnereglen $\ln(x \cdot y) = \ln(x) + \ln(y)$ ved at benytte definitionen af logaritmen som den omvendte funktion til eksponentialfunktionen ($\ln(e^x) = x$).
  • Opgave b: En funktion $f(x) = x^2$ ønskes parallelforskudt 3 enheder mod højre (ad x-aksen) og 4 enheder op (ad y-aksen). Opskriv forskriften for den nye funktion $g(x)$ og forklar det teoretiske princip bag parallelforskydning af grafer: $g(x) = f(x – x_0) + y_0$.
  • Opgave c: Redegør for begrebet “omvendt funktion” (invers funktion). Forklar, hvilke krav der stilles til en funktion, for at den har en omvendt funktion (begrebet injektiv), og giv et eksempel på en funktion fra kernestoffet, der ikke umiddelbart har en omvendt funktion over hele sin definitionsmængde.