Opgaver i Polygonområder

Fag: Matematik B

Opgave 1: Opstilling af uligheder

En gartner skal plante roser ($x$) og tulipaner ($y$) i et bed. Gartneren har følgende krav til bedet:

  1. Der skal være et positivt antal blomster: $x \geq 0$ og $y \geq 0$.
  2. Der er maksimalt plads til 100 blomster i alt.
  3. Der må højst være 40 roser, da de kræver meget plads.
  • Opgave a: Opstil en ulighed, der beskriver kravet om det samlede antal blomster (punkt 2).
  • Opgave b: Opstil en ulighed, der beskriver kravet til antallet af roser (punkt 3).
  • Opgave c: Afgør om følgende sammensætning er en lovlig løsning: 50 roser og 20 tulipaner. Begrund svaret med dine uligheder.

Opgave 2: Tegning af polygon område

En virksomhed har to begrænsninger på deres ressourcer, beskrevet ved ulighederne:

  1. $x + y \leq 10$
  2. $4x + 2y \leq 28$ Desuden gælder $x, y \geq 0$.

For at tegne polygonområdet skal vi først tegne de rette linjer, der afgrænser området.

  • Opgave a: Find skæringspunkterne med x-aksen og y-aksen for linjen $x + y = 10$.
  • Opgave b: Find skæringspunkterne med x-aksen og y-aksen for linjen $4x + 2y = 28$.
  • Opgave c: Find skæringspunktet mellem linjerne $x + y = 10$ og $4x + 2y = 28$.
  • Opgave d: Tegn på papir, hvordan de to linjer danner et afgrænset område i 1. kvadrant sammen med akserne (polygonområdet).

Opgave 3: Beregning af hjørner

Mulighedsområdet i en opgave er afgrænset af følgende to uligheder (udover $x,y \geq 0$):

  1. (Maskine A): $2x + 3y \leq 120$
  2. (Maskine B): $2x + y \leq 80$

Det vigtigste punkt i lineær programmering er ofte der, hvor kapaciteten på begge maskiner er fuldt udnyttet – altså skæringspunktet mellem de to linjer.

  • Opgave a: Opskriv de to uligheder som ligninger (erstat $\leq$ med $=$).
  • Opgave b: Beregn koordinatsættet $(x,y)$ til skæringspunktet mellem de to linjer ved at løse to ligninger med to ubekendte.
  • Opgave c: Forklar med ord, hvilken betydningen dette hjørne har for produktionskapaciteten af Maskine A og Maskine B.