Opgaver i Linjens parameterfremstilling
Fag: Matematik B
Opgave 1: Opstilling og fortolkning
En ret linje $l$ i planen går gennem punktet $A(2, 1)$ og har retningsvektoren $\vec{r} = \binom{3}{2}$.
- Opgave a: Opskriv en parameterfremstilling for linjen $l$.
- Opgave b: Bestem koordinatsættet til det punkt på linjen, der svarer til parameterværdien $t = 4$.
- Opgave c: Undersøg ved beregning, om punktet $P(11, 7)$ ligger på linjen $l$.
Opgave 2: Skæring og vinkel mellem linjer
To linjer $l$ og $m$ er givet ved følgende parameterfremstillinger: $$l: \binom{x}{y} = \binom{2}{1} + s \cdot \binom{3}{2}$$ $$m: \binom{x}{y} = \binom{1}{7} + t \cdot \binom{1}{-1}$$
- Opgave a: Opstil et ligningssystem til bestemmelse af skæringspunktet mellem de to linjer, og find værdierne for $s$ og $t$.
- Opgave b: Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem $l$ og $m$.
- Opgave c: Bestem vinklen mellem de to linjer ved at beregne vinklen mellem deres retningsvektorer (brug skalarproduktet).
Opgave 3: Afstand og geometrisk ræsonnement
En linje $l$ er givet ved parameterfremstillingen $\binom{x}{y} = \binom{1}{2} + t \cdot \binom{4}{3}$. Et punkt $P$ er givet ved $P(10, 5)$.
- Opgave a: Bestem en ligning for linjen $l$ på formen $ax + by + c = 0$, og beregn herudfra den vinkelrette afstand fra punktet $P$ til linjen $l$.
- Opgave b: En retningsvektor for en linje kan omdannes til en normalvektor $\vec{n}$ ved at finde tværvektoren ($\hat{r}$). Bestem normalvektoren for linjen $l$, og redegør for, hvordan denne vektor kan bruges til at finde afstanden fra punktet $P$ til linjen uden at omskrive til linjens ligning.
- Opgave c: Ræsonnér over, hvad der sker med afstanden fra et vilkårligt punkt på linjen til punktet $P$, når $t \to \infty$. Forklar desuden, hvorfor man altid kan finde præcis ét punkt på linjen (fodpunktet), hvor afstanden til $P$ er mindst mulig.