Opgaver i Kriteriefunktioner
Fag: Matematik B
Opgave 1: Opstilling og beregning
En virksomhed sælger to produkter, $x$ og $y$.
- Vare $x$ giver et dækningsbidrag (DB) på 120 kr. pr. stk.
- Vare $y$ giver et dækningsbidrag (DB) på 200 kr. pr. stk.
- Opgave a: Opstil forskriften for kriteriefunktionen $f(x,y)$, der beskriver det samlede dækningsbidrag.
- Opgave b: Beregn det samlede dækningsbidrag, hvis virksomheden sælger 50 stk. af vare $x$ og 30 stk. af vare $y$.
- Opgave c: Hvor mange styk af vare $y$ skal virksomheden sælge for at få et samlet DB på 10.000 kr., hvis de ikke sælger nogen af vare $x$?
Opgave 2: Niveaulinjer og hældning
En kriteriefunktion er givet ved $$ f(x,y) = 40x + 60y $$
- Opgave a: Opskriv ligningen for niveaulinjen $N_{2400}$ (hvor dækningsbidraget er 2400 kr.).
- Opgave b: Omskriv ligningen for $N_{2400}$ til formen $y = ax + b$ og bestem linjens hældning.
- Opgave c: Forklar, hvorfor alle niveaulinjer for denne funktion (f.eks. $N_{1200}, N_{2400}, N_{3600}$) er parallelle.
Opgave 3: Optimering og følsomhed
Et polygonområde har hjørnepunkterne $A(0,0), B(0,10), C(8,6)$ og $D(12,0)$. Kriteriefunktionen er $f(x,y) = 100x + 150y$.
- Opgave a: Bestem hvilket af de fire hjørnepunkter, der giver det maksimale dækningsbidrag.
- Opgave b: Forklar ved hjælp af niveaulinjens hældning, hvad der sker med det optimale punkt, hvis dækningsbidraget for vare $x$ stiger markant, mens dækningsbidraget for vare $y$ forbliver uændret.
- Opgave c: Redegør for, hvorfor den optimale løsning altid i denne type modeller vil findes i kanten eller i et hjørne af polygonområdet og ikke inde i midten.