Opgaver i Sandsynlighedsregning
Fag: Matematik B
Emne: Sandsynlighedsregning
Opgave 1: Karakteren 02
Emne: Symmetrisk sandsynlighedsfelt.
Du trækker tilfældigt ét kort fra et sæt med 20 nummererede kort med tallene 1 til 20.
- Opgave: Bestem sandsynligheden for, at det udtrukne kort er et tal, der er deleligt med 5.
Opgave 2: Karakteren 4
Emne: Kombinatorik.
En virksomhed har 15 ansatte og skal sammensætte en arbejdsgruppe på 3 personer til et midlertidigt projekt.
- Opgave: På hvor mange forskellige måder kan arbejdsgruppen sammensættes?
Opgave 3: Karakteren 7
Emne: Binomialfordelingen.
En webshop ved, at sandsynligheden for, at en kunde returnerer en vare, er 8%.
Man betragter de næste 40 ordrer, og lader den stokastiske variabel $X$ betegne antallet af returnerede varer.
- Opgave a: Forklar, hvorfor $X$ kan beskrives ved en binomialfordeling, og angiv værdierne af $n$ og $p$.
- Opgave b: Beregn sandsynligheden for, at præcis 4 varer returneres, dvs. $P(X = 4)$.
- Opgave c: Beregn sandsynligheden for, at højst 3 varer returneres, dvs. $P(X \leq 3)$.
Opgave 4: Karakteren 10
Emne: Normalfordelingen.
Leveringstiden for en bestemt type pakke antages at være normalfordelt med middelværdi
$\mu = 48$ timer og standardafvigelse $\sigma = 6$ timer.
- Opgave a: Bestem sandsynligheden for, at en tilfældigt valgt pakke leveres mellem 42 og 54 timer efter afsendelse.
- Opgave b: Virksomheden ønsker at fastsætte en garanteret leveringstid, så kun 5% af pakkerne leveres senere end denne grænseværdi $k$.
Bestem værdien af $k$.
Opgave 5: Karakteren 12
Emne: Middelværdi, spredning og sandsynlighedsmodeller.
En stokastisk variabel $X$ er givet ved følgende sandsynlighedsfordeling:
| $x_i$ | 0 | 1 | 3 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| $P(X = x_i)$ | 0,25 | 0,35 | 0,25 | 0,15 |
- Opgave a: Beregn middelværdien $E(X)$ og standardafvigelsen $\sigma$ for $X$.
Forklar med ord, hvordan middelværdien kan fortolkes i forhold til mange gentagelser af forsøget. - Opgave b: Redegør for opbygningen af binomialfordelingens sandsynlighedsfunktion: $$ P(X = r) = \binom{n}{r} \cdot p^r \cdot (1-p)^{n-r} $$ Forklar betydningen af hvert led i formlen, og hvorfor netop disse faktorer indgår i beregningen.