Opgaver i Introduktion til Differentialregning
Fag: Matematik B
Opgave 1: Vækst af funktion i et interval (differenskvotient)
En funktion er givet ved $$ f(x) = x^2 $$
- Opgave a: Beregn funktionensværdierne i $x = 1$ og i $x = 3$.
- Opgave b: Beregn differenskvotienten for $f$ i intervallet $[1;3]$.
- Opgave c: Forklar med ord, hvad differenskvotienten fortæller om funktionen i intervallet.
Opgave 2: Vækst i omegnen af et punkt
En funktion er givet ved $$ g(x) = x^2 $$
- Opgave a: Beregn differenskvotienten for $g$ i intervallet $[2; 2+h]$, hvor $h = 1$.
- Opgave b: Gentag beregningen for $h = 0,5$ og $h = 0,1$.
- Opgave c: Hvad sker der med værdien af differenskvotienten, når $h$ bliver mindre Forklar med ord, hvordan dette hænger sammen med begreberne sekant og tangent.
Opgave 3: Definition af differentialkvotienten
En funktion er givet ved $$ f(x) = x^2 $$
- Opgave a: Opskriv udtrykket for differenskvotienten for $f$ i punktet $x_0 = 1$.
- Opgave b: Beregn differenskvotienten for $h = 1$, $h = 0,5$ og $h = 0,1$.
- Opgave c: Beskriv, hvad der sker med differenskvotienten, når $h \to 0$.
- Opgave d: Forklar med ord betydningen af følgende udtryk: $$ \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) – f(1)}{h} $$
- Opgave e: Forklar, hvad differentialkvotienten i et punkt fortæller om funktionens graf i netop dette punkt.