Opgaver i Harmoniske svingninger
Fag: Matematik B
Opgave 1: Enhedscirklen, radianer og amplitude
- Opgave a: En vinkel er givet ved $45^\circ$. Omregn denne vinkel til radianer. Forklar kort, hvad fordelen er ved at bruge radianer frem for grader, når vi arbejder med funktioner.
- Opgave b: En harmonisk svingning er givet ved $f(t) = 4 \cdot \sin(t)$. Bestem funktionens amplitude, og forklar, hvordan amplituden kan ses på grafen for funktionen.
- Opgave c: Brug enhedscirklen til at forklare, hvorfor værdierne for $\sin(t)$ altid ligger mellem $-1$ og $1$, og hvad det betyder for det maksimale udsving af svingningen $f(t) = 4 \cdot \sin(t)$.
Opgave 2: Periode, vinkelfrekvens og forskydninger
En harmonisk svingning kan beskrives ved standardforskriften: $f(t) = A \cdot \sin(\omega \cdot t + \phi) + k$.
Vi betragter funktionen: $g(t) = 5 \cdot \sin(2 \cdot t – \frac{\pi}{2}) + 10$
- Opgave a: Bestem vinkelfrekvensen $\omega$ og benyt denne til at beregne svingningens periode (periodetiden) $T$ ved hjælp af formlen $T = \frac{2\pi}{\omega}$.
- Opgave b: Identificer den lodrette parallelforskydning $k$ (ligevægtstilstanden) og forklar, hvad værdien af $k$ fortæller om grafens placering i forhold til t-aksen.
- Opgave c: Bestem faseforskydningen $\phi$ og forklar, hvordan denne værdi påvirker grafens startpunkt (hvor den skærer ligevægtstilstanden), sammenlignet med en almindelig sinus-graf.
Opgave 3: Anvendelse og modellering
Harmoniske svingninger bruges ofte til at modellere periodiske fænomener som f.eks. tidevand eller dagslængde. Vandstanden i en havn (målt i meter) over et døgn kan beskrives ved: $$H(t) = 1,2 \cdot \sin(0,507 \cdot t – 1,5) + 3,0$$ hvor $t$ er antal timer efter midnat.
- Opgave a: Bestem den maksimale og minimale vandstand i havnen i løbet af døgnet.
- Opgave b: Beregn vandstanden i havnen kl. 08:00 om morgenen, og bestem ved hjælp af din viden om periodiske funktioner, hvor lang tid der går mellem to på hinanden følgende højvander.
- Opgave c: En anden havn har en vandstand, der svinger hurtigere (kortere tid mellem højvande), men med mindre forskel på top og bund. Redegør for, hvordan parametrene $\omega$ og $A$ i modellen ville ændre sig for at beskrive denne havn.